Les obstructions, pour une forme différentielle fermée dans une variété projective, à être cohomologue à un cycle algébrique à coefficients complexes, sont explicitées au moyen de la transformation de Chow. Elles s'expriment par l'orthogonalité, dans la variété elle-même, à des familles paramétrées par la Grassmannienne de courants complètement déterminés. Un paramètre ne crée pas d'obstruction si le sous-espace projectif associé coupe proprement la variété. Le plongement de la variété est dégénéré, pour avoir la caractérisation des courants associés aux cycles algébriques par la transformation de Chow. On étudie l'ensemble des périodes obtenu en faisant varier le paramètre, en particulier, on prouve un résultat de continuité, grâce à la constructibilité du polynôme de Bernstein. Quand la classe de cohomologie est rationnelle, on conjecture la connexité de cet ensemble.
The obstructions, for a closed differential form on a projective manifold, to be cohomologous to an algebraic cycle with complex coefficients, are computed in terms of the Chow transformation. They can be expressed as an orthogonality condition, on the manifold itself, with families parametrized by the Grassmannian of currents which are completely determined. A parameter does not yield any obstruction if the associated projective subspace meets properly the manifold. The embedding of the manifold is degenerated, in view of applying the characterization of currents associated to algebraic cycles by the Chow transformation. We study the set of periods obtained when the parameter varies, in particular, we prove a continuity result, thanks to the constructibility of the Bernstein polynomial. When the cohomology class is rational, we conjecture that this set is connected.
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Michel Méo 1
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Michel Méo. Réduction de la conjecture de Hodge à une continuité. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 11-12, pp. 625-628. doi : 10.1016/j.crma.2010.03.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.03.016/
[1] Polynôme de Bernstein–Sato générique local, J. Math. Soc. Japan, Volume 58 (2006), pp. 595-616
[2] M. Meo, Transformations intégrales pour les courants positifs fermés et théorie de l'intersection, Thèse Université de Grenoble I, Institut Fourier, 17 janvier 1996, 58 p
[3] Caractérisation des courants associés aux cycles algébriques par leur transformé de Chow, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 79 (2000) no. 1, pp. 21-56
[4] Caractérisation fonctionnelle de la cohomologie algébrique d'une variété projective, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 346 (2008), pp. 1159-1162
[5] Lectures on Arakelov Geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Volume 33 (1992)
[6] Sur l'image d'une variété kählerienne compacte, Fonctions de plusieurs variables complexes V, Lecture Notes in Math., Volume 1188 (1986), pp. 245-259
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