On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem

Shuang Zhou; Zhuangchu Luo; Changgui Zhang

doi:10.1016/j.crma.2010.06.002

Ordinary Differential Equations

On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem
[Sur la sommabilité des solutions formelles d'un problème de Cauchy et la généralisation d'un théorème de Mordell]

Présenté par : Jean-Pierre Ramis

Shuang Zhou ^1,² ; Zhuangchu Luo ¹ ; Changgui Zhang ²

¹ School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan, Hubei, 430072, China
² Laboratoire Paul-Painlevé, UMR-CNRS 8524, UFR mathématiques pures et appliquées, université des sciences et technologies de Lille (Lille 1), cité scientique, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 13-14, pp. 753-758.

Résumé
Abstract

Dans cette Note, nous considérons l'équation de la chaleur avec une condition initiale singulière $φ (z) = \frac{1}{1 - e^{z}}$ , $z \in C ∖ 2 π i Z$ . Le but est d'établir des relations entre trois sommes d'une solution formelle divergente de ce problème de Cauchy : la somme de Borel basée sur des résultats de Lutz et al. (1999) [4] et deux sommes de Borel q-analogues obtenues respectivement au moyen du noyau de la chaleur (Zhang, 1999) [8] et la fonction Theta (Ramis and Zhang, 2002 ; Zhang, 2002) [7,9]. Nous montrons que la somme de Borel est égale à la somme q-Borel donnée par le noyau de la chaleur et que la relation entre les deux sommes q-Borel donne lieu à une généralisation naturelle d'un théorème de Mordell.

In this Note, we shall consider the heat equation with a singular initial condition $φ (z) = \frac{1}{1 - e^{z}}$ , $z \in C ∖ 2 π i Z$ . The aim is to establish relations among three sums of a divergent formal solution to this Cauchy problem: Borel-sum based on known results in Lutz et al. (1999) [4] and two q-Borel sums obtained by means of Heat Kernel and Theta function respectively in Zhang (1999) [8] and in Ramis and Zhang (2002) [7], Zhang (2002) [9]. It is shown that the Borel-sum is equal to q-Borel sum given by the integral expression with Heat Kernel and that the relation between two q-Borel sums gives rise to a natural generalization of Mordell's Theorem.

Reçu le : 2010-02-15
Accepté le : 2010-05-31
Publié le : 2010-06-23

DOI : 10.1016/j.crma.2010.06.002

Affiliations des auteurs :

Shuang Zhou ^{1, 2} ; Zhuangchu Luo ¹ ; Changgui Zhang ²

@article{CRMATH_2010__348_13-14_753_0,
     author = {Shuang Zhou and Zhuangchu Luo and Changgui Zhang},
     title = {On summability of formal solutions to a {Cauchy} problem and generalization of {Mordell's} {Theorem}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {753--758},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {348},
     number = {13-14},
     year = {2010},
     doi = {10.1016/j.crma.2010.06.002},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Shuang Zhou
AU  - Zhuangchu Luo
AU  - Changgui Zhang
TI  - On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2010
SP  - 753
EP  - 758
VL  - 348
IS  - 13-14
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2010.06.002
LA  - en
ID  - CRMATH_2010__348_13-14_753_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Shuang Zhou
%A Zhuangchu Luo
%A Changgui Zhang
%T On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2010
%P 753-758
%V 348
%N 13-14
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2010.06.002
%G en
%F CRMATH_2010__348_13-14_753_0

Shuang Zhou; Zhuangchu Luo; Changgui Zhang. On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 13-14, pp. 753-758. doi : 10.1016/j.crma.2010.06.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.06.002/

Bibliographie
Cité par

[1] W. Balser Formal Power Series and Linear Systems of Meromorphic Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2000

[2] B.L.J. Braaksma; B.F. Faber Multisummability for some classes of difference equations, Ann. Inst. Fourier, Volume 46 (1996), pp. 183-217

[3] Z. Luo; H. Chen; C. Zhang On the summability of the formal solutions for some PDEs with irregular singularity, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 219-224

[4] D.A. Lutz; M. Miyake; R. Schäfke On the Borel summability of divergent solutions of the heat equation, Nagoya Math. J., Volume 154 (1999), pp. 1-29

[5] B. Malgrange Sommation des séries divergentes, Exposition. Math., Volume 13 (1995), pp. 163-222

[6] L.J. Mordell The definite integral $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{a x^{2} + b x}}{e^{c x} + d} d x$ and the analytic theory of numbers, Acta Math., Volume 61 (1933), pp. 323-360

[7] J.P. Ramis; C. Zhang Développements asymptotiques q-Gevrey et fonction thêta de Jacobi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 335 (2002), pp. 277-280

[8] C. Zhang Développements asymptotiques q-Gevrey et séries Gq-sommables, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999), pp. 227-261

[9] C. Zhang Une sommation discrète pour des équations aux q-différences linéaires et à coefficients analytiques: théorie générale et exemples (B.L.J. Braaksma, ed.), Differential Equations and the Stokes Phenomenon, World Scientific, 2002, pp. 309-329

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

On the modular behaviour of the infinite product $(1 - x) (1 - x q) (1 - x q^{2}) (1 - x q^{3}) \dots$

Changgui Zhang

C. R. Math (2011)