Remarques à propos de l'opérateur de Dirac cubique

Nicolas Prudhon

doi:10.1016/j.crma.2010.10.035

Algèbres de Lie/Analyse harmonique

Remarques à propos de l'opérateur de Dirac cubique

Présenté par : Michel Duflo

Nicolas Prudhon ¹

¹ Laboratoire de mathématiques et applications de Metz, Unité mixte de recherche 7122 du CNRS, Université de Metz et CNRS, bâtiment A, Ile du Saulcy, 57045 Metz cedex 1, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 23-24, pp. 1249-1252.

Résumé
Abstract

En 1999, Kostant introduit un opérateur de Dirac cubique $D_{g / h}$ associé à tout triplet $(g, h, B)$ , où $g$ est une algèbre de Lie complexe munie de la forme bilinéaire symétrique $ad g$ -invariante non dégénérée B, et $h$ est une sous-algèbre de Lie de $g$ sur laquelle B est non dégénérée. Kostant montre alors que le carré de $D_{g / h}$ vérifie une formule qui généralise la formule de Parthasarathy (1972). Nous donnons ici une nouvelle démonstration de cette formule. Tout d'abord, au moyen d'une induction par étage, nous montrons qu'il suffit d'établir la formule dans le cas particulier où $h = 0$ . Il apparaît alors que, dans ce cas, l'annulation du terme d'ordre 1 dans la formule de Kostant pour $D_{g / h}^{2}$ est une conséquence de propriétés classiques en cohomologie des algèbres de Lie, tandis que le fait que le carré du terme cubique soit scalaire résulte de telles considérations, ainsi que de l'identité de Jacobi.

In 1999, Kostant introduces a Dirac operator $D_{g / h}$ associated to any triple $(g, h, B)$ , where $g$ is a complex Lie algebra provided with an $ad g$ -invariant nondegenerate symmetric bilinear form B, and $h$ is a Lie subalgebra of $g$ such that the bilinear form B is nondegenerate on $h$ . Kostant then shows that the square of this operator satisfies a formula that generalizes the so-called Parthasarathy formula (1972). We give here a new proof of this formula. First we use an induction by stage argument to reduce the proof of the formula to the particular case where $h = 0$ . In this case we show that the vanishing of the first order term in the Kostant formula for $D_{g / h}^{2}$ is a consequence of classic properties related to Lie algebra cohomology, and the fact that the square of the cubic term is a scalar follows from such considerations, together with the Jacobi identity.

Reçu le : 2010-06-21
Accepté le : 2010-10-27
Publié le : 2010-11-19

DOI : 10.1016/j.crma.2010.10.035

Affiliations des auteurs :

Nicolas Prudhon ¹

¹ Laboratoire de mathématiques et applications de Metz, Unité mixte de recherche 7122 du CNRS, Université de Metz et CNRS, bâtiment A, Ile du Saulcy, 57045 Metz cedex 1, France

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Nicolas Prudhon. Remarques à propos de l'opérateur de Dirac cubique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 23-24, pp. 1249-1252. doi : 10.1016/j.crma.2010.10.035. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.10.035/

Bibliographie
Cité par

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