Clark–Ocone type formula for non-semimartingales with finite quadratic variation

Cristina Di Girolami; Francesco Russo

doi:10.1016/j.crma.2010.11.032

Probability Theory

Clark–Ocone type formula for non-semimartingales with finite quadratic variation
[Formule de Clark–Ocone generalisée pour des non-semimartingales à variation quadratique finie]

Présenté par : Marc Yor

Cristina Di Girolami ^1,² ; Francesco Russo ^2,³

¹ Luiss Guido Carli – Libera Università Internazionale degli Studi Sociali Guido Carli di Roma, Viale Pola 12, 00198 Roma, Italy
² ENSTA ParisTech, unité de mathématiques appliquées, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France
³ INRIA Rocquencourt and Cermics École des ponts, projet MATHFI, domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 3-4, pp. 209-214.

Résumé
Abstract

Nous présentons un cadre adéquat pour le concept de variation quadratique finie lorsque le processus de référence est à valeurs dans un espace de Banach séparable B. Le langage utilisé est celui de l'intégrale via régularisations introduit dans le cas réel par le second auteur et P. Vallois. À un processus réel continu X, nous associons le processus $X (\cdot)$ , appelé processus fenêtre, qui à l'instant t, garde en mémoire le passé jusqu'à $t - τ$ . L'espace naturel d'évolution pour $X (\cdot)$ est l'espace de Banach B des fonctions continues définies sur $[- τ, 0]$ . Si X est un processus réel à variation quadratique finie, nous énonçons une formule d'Itô appropriée de laquelle nous déduisons une formule de Clark–Ocone relative à des non-semimartingales réelles ayant la même variation quadratique que le mouvement brownien. La représentation est basée sur des solutions d'une EDP infini-dimensionnelle.

We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space B using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case $B = R$ by the second author and P. Vallois. To a real continuous process X we associate the Banach-valued process $X (\cdot)$ , called window process, which describes the evolution of X taking into account a memory $τ > 0$ . The natural state space for $X (\cdot)$ is the Banach space of continuous functions on $[- τ, 0]$ . If X is a real finite quadratic variation process, an appropriated Itô formula is presented, from which we derive a generalized Clark–Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite-dimensional PDE.

Reçu le : 2010-05-18
Accepté le : 2010-11-30
Publié le : 2011-01-07

DOI : 10.1016/j.crma.2010.11.032

Affiliations des auteurs :

Cristina Di Girolami ^{1, 2} ; Francesco Russo ^{2, 3}

¹ Luiss Guido Carli – Libera Università Internazionale degli Studi Sociali Guido Carli di Roma, Viale Pola 12, 00198 Roma, Italy
² ENSTA ParisTech, unité de mathématiques appliquées, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France
³ INRIA Rocquencourt and Cermics École des ponts, projet MATHFI, domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay cedex, France

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Cristina Di Girolami; Francesco Russo. Clark–Ocone type formula for non-semimartingales with finite quadratic variation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 3-4, pp. 209-214. doi : 10.1016/j.crma.2010.11.032. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.11.032/

Bibliographie
Cité par

[1] R. Coviello; F. Russo Nonsemimartingales: Stochastic differential equations and weak Dirichlet processes, Ann. Probab., Volume 35 (2007) no. 1, pp. 255-308

[2] G. Da Prato; J. Zabczyk Stochastic Equations in Infinite Dimensions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 44, Cambridge University Press, Cambridge, 1992

[3] C. Di Girolami, F. Russo, Infinite dimensional stochastic calculus via regularization and applications, HAL-INRIA, preprint, 2010, http://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00473947/fr/.

[4] N. Dinculeanu Vector Integration and Stochastic Integration in Banach Spaces, Pure and Applied Mathematics (New York), Wiley–Interscience, New York, 2000

[5] M. Errami; F. Russo n-Covariation, generalized Dirichlet processes and calculus with respect to finite cubic variation processes, Stochastic Process. Appl., Volume 104 (2003) no. 2, pp. 259-299

[6] M. Métivier; J. Pellaumail Stochastic Integration, Probability and Mathematical Statistics, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1980

[7] F. Russo; P. Vallois Elements of stochastic calculus via regularization, Séminaire de Probabilités XL, Lecture Notes in Math., vol. 1899, Springer, Berlin, 2007, pp. 147-185

[8] J.G.M. Schoenmakers; P.E. Kloeden Robust option replication for a Black–Scholes model extended with nondeterministic trends, J. Appl. Math. Stochastic Anal., Volume 12 (1999) no. 2, pp. 113-120

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