We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space B using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case by the second author and P. Vallois. To a real continuous process X we associate the Banach-valued process , called window process, which describes the evolution of X taking into account a memory . The natural state space for is the Banach space of continuous functions on . If X is a real finite quadratic variation process, an appropriated Itô formula is presented, from which we derive a generalized Clark–Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite-dimensional PDE.
Nous présentons un cadre adéquat pour le concept de variation quadratique finie lorsque le processus de référence est à valeurs dans un espace de Banach séparable B. Le langage utilisé est celui de l'intégrale via régularisations introduit dans le cas réel par le second auteur et P. Vallois. À un processus réel continu X, nous associons le processus , appelé processus fenêtre, qui à l'instant t, garde en mémoire le passé jusqu'à . L'espace naturel d'évolution pour est l'espace de Banach B des fonctions continues définies sur . Si X est un processus réel à variation quadratique finie, nous énonçons une formule d'Itô appropriée de laquelle nous déduisons une formule de Clark–Ocone relative à des non-semimartingales réelles ayant la même variation quadratique que le mouvement brownien. La représentation est basée sur des solutions d'une EDP infini-dimensionnelle.
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Cristina Di Girolami 1, 2; Francesco Russo 2, 3
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Cristina Di Girolami; Francesco Russo. Clark–Ocone type formula for non-semimartingales with finite quadratic variation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 3-4, pp. 209-214. doi : 10.1016/j.crma.2010.11.032. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.11.032/
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