Comptes Rendus
no. 9-10
Analyse complexe/Analyse harmonique
La série entière 1+zΓ(1+i)+z2Γ(1+2i)+z3Γ(1+3i)+⋯ possède une frontière naturelle !

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Changgui Zhang1
1 Laboratoire P. Painlevé (UMR – CNRS 8524), UFR Math., université de Lille 1, cité scientifique, 59655 Villeneuve dʼAscq cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 9-10, pp. 519-522.

Les séries lacunaires sont les exemples les plus classiques de séries entières qui ne peuvent pas se prolonger au delà de leurs cercles de convergence (Dienes, 1931 [4, §93–94, pp. 372–383], Titchmarsh, 1939 [8, §7.43, p. 223], …). Dans la présente Note, nous étudions une famille de séries entières, non lacunaires, ayant pour coefficients des valeurs prises par la fonction Gamma sur des lignes verticales. Nous expliquons comment les représenter en termes de séries de Dirichlet lacunaires, ce qui nous permet de conclure à lʼexistence de leur frontière naturelle. Liés au comportement « aléatoire » de la fonction Gamma sur toute ligne verticale, les résultats ainsi obtenus verront également des explications dans notre travail en cours sur des équations aux q-différences-différentielles, dites « de type pantographe » (voir Kato and McLeod (1971) [6] pour lʼinstant).

The lacunary series are the most classic examples among all the power series whose circle of convergence constitutes a natural boundary (Dienes, 1931 [4, §93–94, pp. 372–383], Titchmarsh, 1939 [8, §7.43, p. 223], …). In this Note, we study a family of non-lacunary power series whose coefficients are given by means of values of the Gamma function over vertical line. We explain how to transform these series into lacunary Dirichlet series, which allows us to conclude the existence of their natural boundary. Our results, which illustrate in what manner the Gamma function may have an unpredictable behaviour on any vertical line, may also be partially understood in the framework of our forthcoming work on a class of differential q-difference equations, namely, on pantograph type equations (meanwhile see Kato and McLeod (1971) [6]).

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.03.010
Changgui Zhang 1

1 Laboratoire P. Painlevé (UMR – CNRS 8524), UFR Math., université de Lille 1, cité scientifique, 59655 Villeneuve dʼAscq cedex, France 
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Changgui Zhang. La série entière $ 1+\frac{z}{\mathrm{\Gamma }(1+i)}+\frac{{z}^{2}}{\mathrm{\Gamma }(1+2i)}+\frac{{z}^{3}}{\mathrm{\Gamma }(1+3i)}+\cdots $ possède une frontière naturelle !. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 9-10, pp. 519-522. doi : 10.1016/j.crma.2011.03.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.03.010/

[1] P. Ahern; W. Rudin Geometric properties of the gamma function, Amer. Math. Monthly, Volume 103 (1996), pp. 678-681

[2] G. Andrews; R. Askey; R. Roy Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 71, Cambridge University Press, 2000

[3] L. Di Vizio; J.-P. Ramis; J. Sauloy; C. Zhang Équations aux q-différences, Gaz. Math., Volume 96 (2003), pp. 20-49

[4] P. Dienes The Taylor Series. An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable, The Clarendon Press, Oxford, 1931

[5] E. Fabry Sur les points singuliers dʼune fonction donnée par son développement en série et sur lʼimpossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), Volume 13 (1896), pp. 367-399

[6] T. Kato; J.B. McLeod The functional differential equation y′(x)=ay(λx)+by(x), Bull. Amer. Math. Soc., Volume 77 (1971), pp. 891-937

[7] S. Saks; A. Zygmund Analytic Functions, Polskie Towarzystwo Matematyczne, Warszawa, Wroclaw, 1952

[8] E.C. Titchmarsh The Theory of Functions, Oxford University Press, 1939

[9] C. Zhang Développements asymptotiques q-Gevrey et séries Gq-sommables, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999), pp. 227-261

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