[Points puissants de hauteur bornée]
Soit . Dans cette Note, nous expliquerons comment on peut déterminer le comportement asymptotique du nombre de points rationnels (avec et ) de hauteur bornée sur lʼhyperplan tels que est un entier puissant pour chaque , lorsque B tend vers lʼinfini. (Un entier a est appelé puissant si pour chaque nombre premier p divisant a, on a que aussi divise a.) La méthode principale quʼon utilise ici est la méthode du cercle de Hardy–Littlewood (classique).
Let . In this Note, we explain how to determine the asymptotic behaviour of the size of the set of rational points (where and ) of bounded height on the hyperplane such that is squareful for each as B goes to infinity. (An integer a is called squareful if the exponent of each prime divisor of a is at least two.) The main tool we will use, is the (classical) Hardy–Littlewood circle method.
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Karl Van Valckenborgh 1
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Karl Van Valckenborgh. Squareful points of bounded height. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 11-12, pp. 603-606. doi : 10.1016/j.crma.2011.05.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.05.001/
[1] Birational geometry for number theorists, Arithmetic Geometry, Clay Math. Proc., vol. 8, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 335-373
[2] Fibres multiples sur les surfaces : aspects geométriques, hyperboliques et arithmétiques, Manuscripta Math., Volume 117 (2005) no. 4, pp. 429-461
[3] Analytic Methods for Diophantine Equations and Diophantine Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 2005 (With a foreword by R.C. Vaughan, D.R. Heath-Brown and D.E. Freeman, edited and prepared for publication by T.D. Browning)
[4] The projective line minus three fractional points, July 2006 http://www-math.mit.edu/~poonen/slides/campana_s.pdf
[5] Analytische Methoden für Diophantische Gleichungen. Einführende Vorlesungen, DMV Seminar, vol. 5, Birkhäuser Verlag, Basel, 1984
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