Arcs and wedges on rational surface singularities

Ana J. Reguera

doi:10.1016/j.crma.2011.08.022

Algebraic Geometry

Arcs and wedges on rational surface singularities
[Arcs et coins sur une singularité rationnelle de surface]

Présenté par : Claire Voisin

Ana J. Reguera ¹

¹ Universidad de Valladolid, Dep. de Álgebra, Geometría y Topología, Prado de la Magdalena, 47005 Valladolid, Spain

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 19-20, pp. 1083-1087.

Résumé
Abstract

Soit $(S, P_{0})$ une singularité rationnelle de surface sur un corps algébriquement clos k de caractéristique 0, soit $ν_{α}$ une valuation divisorielle essentielle sur $(S, P_{0})$ , et $P_{α}$ le point stable de lʼespace des arcs $S_{\infty}$ qui correspond à $ν_{α}$ . On démontre que tout coin centré en $P_{α}$ se relève à la désingularisation minimale. Cela démontre le problème de Nash pour les singularités rationnelles de surface, et réduit le problème de Nash pour les surfaces aux singularités quasi-rationnelles qui ne sont pas rationnelles. En caractéristique positive, on donne un contre-exemple au problème de relèvement de k-coins pour une surface dont lʼapplication de Nash est bijective.

Let $(S, P_{0})$ be a rational surface singularity over an algebraically closed field k of characteristic 0, let $ν_{α}$ be an essential divisorial valuation over $(S, P_{0})$ , and $P_{α}$ the stable point of the space of arcs $S_{\infty}$ corresponding to $ν_{α}$ . We prove that any wedge centered at $P_{α}$ lifts to the minimal desingularization. This proves the Nash problem for rational surface singularities, and reduces the Nash problem for surfaces to quasirational normal singularities which are not rational. In positive characteristic, we give a counterexample to the k-wedge lifting problem for a surface for which the Nash map is bijective.

Reçu le : 2011-05-17
Accepté le : 2011-08-30
Publié le : 2011-09-26

DOI : 10.1016/j.crma.2011.08.022

Affiliations des auteurs :

Ana J. Reguera ¹

¹ Universidad de Valladolid, Dep. de Álgebra, Geometría y Topología, Prado de la Magdalena, 47005 Valladolid, Spain

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Ana J. Reguera. Arcs and wedges on rational surface singularities. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 19-20, pp. 1083-1087. doi : 10.1016/j.crma.2011.08.022. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.08.022/

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