Comptes Rendus
no. 9-10
Équations aux dérivées partielles/Contrôle optimal
Stabilisation faible interne locale de système élastique de Bresse

Présenté par : Jean-Michel Bony

Nahla Noun1, 2 ; Ali Wehbe1
1 Equipe EDP et analyse numérique, université libanaise, faculté des sciences 1 et EDST & Hadath, Beyrouth, Liban
2 Université Montpellier 2, ACSIOM, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 493-498.

Dans [1], Alabau-Boussouira et al. (2011) ont étudié la stabilisation exponentielle et polynomiale de système de Bresse sous lʼaction dʼune seule loi de dissipation interne globalement distribuée. Dans cette Note, notre but est dʼétendre les résultats de Alabau-Boussouira et al. (2011) [1], pour prendre en considération le cas important où la loi de dissipation est localement distribuée et pour améliorer le taux de décroissance polynomial de lʼénergie. Nous étudions alors, le taux de décroissance de lʼénergie du système de Bresse sous lʼaction dʼune seule loi de dissipation interne localement distribuée et agissant sur lʼéquation de rotation angulaire. Sous la condition dʼégalité des vitesses de propagation, nous montrons que le système est exponentiellement stable. Dans le cas contraire, nous établissons un nouveau taux de décroissance polynomial de lʼénergie.

In [1], Alabau-Boussouira et al. (2011) studied the exponential and polynomial stability of the Bresse system with one globally distributed dissipation law. In this Note, our goal is to extend the results from Alabau-Boussouira et al. (2011) [1], by taking into consideration the important case when the dissipation law is locally distributed and to improve the polynomial energy decay rate. We then study the energy decay rate of the Bresse system with one locally internal distributed dissipation law acting on the equation about the shear angle displacement. Under the equal speed wave propagation condition, we show that the system is exponentially stable. On the contrary, we establish a new polynomial energy decay rate.

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DOI : 10.1016/j.crma.2012.04.003
Nahla Noun 1, 2 ; Ali Wehbe 1

1 Equipe EDP et analyse numérique, université libanaise, faculté des sciences 1 et EDST & Hadath, Beyrouth, Liban
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Nahla Noun; Ali Wehbe. Stabilisation faible interne locale de système élastique de Bresse. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 493-498. doi : 10.1016/j.crma.2012.04.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.04.003/

[1] F. Alabau-Boussouira; J.E. Muñoz Rivera; D.d.S. Almeida Stability to weak dissipative Bresse system, J. Math. Anal. Appl., Volume 347 (2011) no. 2, pp. 481-498

[2] C. Batty; T. Duyckaerts Non-uniform stability for bounded semi-groups on Banach spaces, J. Evol. Equ., Volume 8 (2008) no. 4, pp. 765-780

[3] A. Borichev; Y. Tomilov Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups, Math. Ann., Volume 347 (2010) no. 2, pp. 455-478

[4] L.H. Fatori; J.E.M. Rivera Rates of decay to weak thermoelastic Bresse system, IMA J. Appl. Math., Volume 75 (2010) no. 6, pp. 881-904

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[7] Z. Liu; B. Rao Characterization of polynomial decay rate for the solution of linear evolution equation, Z. Angew. Math. Phys., Volume 56 (2005) no. 4, pp. 630-644

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[9] J. Pruss On the spectrum of c0-semigroups, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 284 (1984), pp. 847-857

[10] A. Wehbe; W. Youssef Exponential and polynomial stability of an elastic Bresse system with two locally distributed feedback, J. Math. Phys., Volume 51 (2010) no. 10, pp. 1067-1078

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