Compensated fractional derivatives and stochastic evolution equations

María J. Garrido-Atienza; Kening Lu; Björn Schmalfuß

doi:10.1016/j.crma.2012.11.007

Partial Differential Equations/Probability Theory

Compensated fractional derivatives and stochastic evolution equations
[Dérivées fractionnaires compensées et équations dʼévolution stochastiques]

Présenté par : the Editorial Board

María J. Garrido-Atienza ¹ ; Kening Lu ² ; Björn Schmalfuß ³

¹ Dpto. EDAN, Universidad de Sevilla, Apdo. de Correos 1160, 41080 Sevilla, Spain
² 346 TMCB, Brigham Young University, Provo, UT 84602, USA
³ Institut für Stochastik, Friedrich Schiller Universität Jena, Ernst Abbe Platz 2, 77043 Jena, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 23-24, pp. 1037-1042.

Résumé
Abstract

Dans cette Note, nous sommes intéressés à développer une théorie trajectorielle pour les solutions ‘mild’ dʼéquations dʼévolution stochastiques lorsque le bruit est β-Hölder continue pour $β \in (1 / 3, 1 / 2)$ . Selon la théorie ‘Rough Path’, les intégrales stochastiques liés à la solution des équations différentielles ordinaires contiennent des éléments dʼun espace de tenseurs. Grâce aux dérivées fractionnaires (compensées), on peut formuler une deuxième équation pour ce tenseur, pour lequel nous construisons un autre tenseur en fonction non seulement sur le bruit, mais aussi sur le semi-groupe. Nous formulons des conditions suffisantes pour lʼexistence et lʼunicité dʼune solution trajectorielle en utilisant le théoréme du point fixe de Banach lorsque des coefficients du système sont assez régulières.

We are interested in developing a pathwise theory for mild solutions of stochastic evolution equations when the noise path is β-Hölder continuous for $β \in (1 / 3, 1 / 2)$ . From the point of view of the Rough Path Theory, stochastic integrals related to the solution of ordinary differential equations contain area-elements from a tensor space. Based on (compensated) fractional derivatives we are able to derive a second mild equation for these area components. We formulate sufficient conditions for the existence and uniqueness of a pathwise mild solution by using the Banach fixed point theorem provided that the coefficients of the system are sufficiently regular.

Reçu le : 2012-08-06
Accepté le : 2012-11-12
Publié le : 2012-11-23

DOI : 10.1016/j.crma.2012.11.007

Affiliations des auteurs :

María J. Garrido-Atienza ¹ ; Kening Lu ² ; Björn Schmalfuß ³

¹ Dpto. EDAN, Universidad de Sevilla, Apdo. de Correos 1160, 41080 Sevilla, Spain
² 346 TMCB, Brigham Young University, Provo, UT 84602, USA
³ Institut für Stochastik, Friedrich Schiller Universität Jena, Ernst Abbe Platz 2, 77043 Jena, Germany

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María J. Garrido-Atienza; Kening Lu; Björn Schmalfuß. Compensated fractional derivatives and stochastic evolution equations. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 23-24, pp. 1037-1042. doi : 10.1016/j.crma.2012.11.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.11.007/

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