Problèmes capacitaires en viscoplasticité avec effets de torsion

Michel Bellieud

doi:10.1016/j.crma.2013.03.005

Problèmes mathématiques de la mécanique

Problèmes capacitaires en viscoplasticité avec effets de torsion
[Capacitary problems in viscoplasticity with torsion effects]

Presented by: Philippe G. Ciarlet

Michel Bellieud ¹

¹ LMGC, UMR–CNRS 5508, université Montpellier-2, case courrier 048, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 5-6, pp. 241-245.

Abstract
Résumé

We study the homogenization of elasticity problems like (1) when f, g are strictly convex functions satisfying a growth condition of order $p \in (1, + \infty)$ , g is positively homogeneous of degree p, $k_{ε} \to + \infty$ , and $T_{r_{ε}}$ consists of an ε-periodic distribution of parallel fibers of cross sections of size $r_{ε} ≪ ε$ . The problem (1) corresponds to a simplified model of small deformation nonlinear elasticity describing, for instance, the small deformations of an Ogdenʼs material (Ogden, 1972 [8]). When $1 < p < 2$ , it may also characterize the viscoplastic creep experienced, at high temperatures, by a metallic composite governed by the Norton–Hoff model (Friaâ, 1979 [7]). In this case, $u_{ε}$ represents the velocity vector field. We show that if $p ⩽ 2$ , a concentration of strain energy appears in a small region of space surrounding the fibers. This extra contribution is characterized by a local density of the sections of the fibers with respect to some appropriate capacity depending, if $p < 2$ , on the angles of rotation of the fibers with respect to their principal axis. This rotating behavior generates, in parallel, the emergence of torsional strain energy within the fibers.

Nous étudions lʼhomogénéisation de problèmes du type :

{\begin{matrix} \min_{u_{ε} \in W_{b}^{1, p} (Ω; R^{3})} F_{ε} (u_{ε}) - \int_{Ω} f . u_{ε} d x, f \in L^{p^{'}} (Ω; R^{3}), (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{'}} = 1), \\ W_{b}^{1, p} (Ω; R^{3}) = {ψ \in W^{1, p} (Ω; R^{3}), ψ = 0 sur \hat{Ω} \times {0}}, \\ F_{ε} (u_{ε}) : = \int_{Ω ∖ T_{r_{ε}}} f (e (u_{ε})) d x + k_{ε} \int_{T_{r_{ε}}} g (e (u_{ε})) d x, \\ e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

(1)

lorsque f, g sont des fonctions strictement convexes satisfaisant des conditions de croissance dʼordre

p \in (1, + \infty)

, g est positivement homogène de degré p,

k_{ε}

tend vers +∞, et

T_{r_{ε}}

est une distribution ε-périodique de fibres parallèles de section de taille

r_{ε} ≪ ε

. Le problème (1) correspond à un modèle simplifié dʼélasticité non linéaire en petites déformations, décrivant par exemple les petites déformations dʼun matériau de Ogden (1972) [8]. Lorsque

1 < p < 2

, il est aussi employé pour décrire le fluage à haute température dʼun composite métallique dans le modèle de Norton–Hoff (Friaâ, 1979 [7]). Dans ce cas,

u_{ε}

représente le champ des vitesses. Nous prouvons que, lorsque

p ⩽ 2

, une concentration dʼénergie élastique apparaît dans une petite zone entourant les fibres. Elle sʼexprime en fonction de la densité locale des sections des fibres relativement à une capacité spécifique tenant compte, si

p < 2

, des angles de rotation des fibres par rapport à leur axe principal. Ce comportement rotatoire génère, en parallèle, une concentration dʼénergie de torsion à lʼintérieur des fibres.

Received: 2011-11-09
Accepted: 2013-03-11
Published online: 2013-03-01

DOI: 10.1016/j.crma.2013.03.005

Author's affiliations:

Michel Bellieud ¹

¹ LMGC, UMR–CNRS 5508, université Montpellier-2, case courrier 048, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5, France

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Michel Bellieud. Problèmes capacitaires en viscoplasticité avec effets de torsion. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 5-6, pp. 241-245. doi : 10.1016/j.crma.2013.03.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.03.005/

References
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