Problèmes capacitaires en viscoplasticité avec effets de torsion

Michel Bellieud

doi:10.1016/j.crma.2013.03.005

Problèmes mathématiques de la mécanique

Problèmes capacitaires en viscoplasticité avec effets de torsion

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Michel Bellieud ¹

¹ LMGC, UMR–CNRS 5508, université Montpellier-2, case courrier 048, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 5-6, pp. 241-245.

Résumé
Abstract

Nous étudions lʼhomogénéisation de problèmes du type :

{\begin{matrix} \min_{u_{ε} \in W_{b}^{1, p} (Ω; R^{3})} F_{ε} (u_{ε}) - \int_{Ω} f . u_{ε} d x, f \in L^{p^{'}} (Ω; R^{3}), (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{'}} = 1), \\ W_{b}^{1, p} (Ω; R^{3}) = {ψ \in W^{1, p} (Ω; R^{3}), ψ = 0 sur \hat{Ω} \times {0}}, \\ F_{ε} (u_{ε}) : = \int_{Ω ∖ T_{r_{ε}}} f (e (u_{ε})) d x + k_{ε} \int_{T_{r_{ε}}} g (e (u_{ε})) d x, \\ e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

(1)

lorsque f, g sont des fonctions strictement convexes satisfaisant des conditions de croissance dʼordre

p \in (1, + \infty)

, g est positivement homogène de degré p,

k_{ε}

tend vers +∞, et

T_{r_{ε}}

est une distribution ε-périodique de fibres parallèles de section de taille

r_{ε} ≪ ε

. Le problème (1) correspond à un modèle simplifié dʼélasticité non linéaire en petites déformations, décrivant par exemple les petites déformations dʼun matériau de Ogden (1972) [8]. Lorsque

1 < p < 2

, il est aussi employé pour décrire le fluage à haute température dʼun composite métallique dans le modèle de Norton–Hoff (Friaâ, 1979 [7]). Dans ce cas,

u_{ε}

représente le champ des vitesses. Nous prouvons que, lorsque

p ⩽ 2

, une concentration dʼénergie élastique apparaît dans une petite zone entourant les fibres. Elle sʼexprime en fonction de la densité locale des sections des fibres relativement à une capacité spécifique tenant compte, si

p < 2

, des angles de rotation des fibres par rapport à leur axe principal. Ce comportement rotatoire génère, en parallèle, une concentration dʼénergie de torsion à lʼintérieur des fibres.

We study the homogenization of elasticity problems like (1) when f, g are strictly convex functions satisfying a growth condition of order $p \in (1, + \infty)$ , g is positively homogeneous of degree p, $k_{ε} \to + \infty$ , and $T_{r_{ε}}$ consists of an ε-periodic distribution of parallel fibers of cross sections of size $r_{ε} ≪ ε$ . The problem (1) corresponds to a simplified model of small deformation nonlinear elasticity describing, for instance, the small deformations of an Ogdenʼs material (Ogden, 1972 [8]). When $1 < p < 2$ , it may also characterize the viscoplastic creep experienced, at high temperatures, by a metallic composite governed by the Norton–Hoff model (Friaâ, 1979 [7]). In this case, $u_{ε}$ represents the velocity vector field. We show that if $p ⩽ 2$ , a concentration of strain energy appears in a small region of space surrounding the fibers. This extra contribution is characterized by a local density of the sections of the fibers with respect to some appropriate capacity depending, if $p < 2$ , on the angles of rotation of the fibers with respect to their principal axis. This rotating behavior generates, in parallel, the emergence of torsional strain energy within the fibers.

Reçu le : 2011-11-09
Accepté le : 2013-03-11
Publié le : 2013-03-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.03.005

Affiliations des auteurs :

Michel Bellieud ¹

¹ LMGC, UMR–CNRS 5508, université Montpellier-2, case courrier 048, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5, France

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Michel Bellieud. Problèmes capacitaires en viscoplasticité avec effets de torsion. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 5-6, pp. 241-245. doi : 10.1016/j.crma.2013.03.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.03.005/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Bellieud Torsion effects in elastic composites with high contrast, SIAM J. Math. Anal., Volume 41 (2010) no. 6, pp. 2514-2553

[2] M. Bellieud, Capacitary problems in elasticity with torsion effects, preprint, 2011.

[3] M. Bellieud A notion of capacity related to elasticity. Applications to homogenization, Arch. Ration. Mech. Anal., Volume 203 (2012) no. 1, pp. 137-187

[4] M. Bellieud; I. Gruais Homogenization of an elastic material reinforced by very stiff or heavy fibers. Non local effects. Memory effects, J. Math. Pures Appl., Volume 84 (2005), pp. 55-96

[5] D. Cioranescu; A. Damlamian; G. Griso The periodic unfolding method in homogenization, SIAM J. Math. Anal., Volume 40 (2008) no. 4, pp. 1585-1620

[6] G. Dal Maso An Introduction to Γ-Convergence, Birkhäuser, 1993

[7] A. Friaâ, La loi de Norton–Hoff généralisée en plasticité et viscoplasticité, Thèse de doctorat dʼÉtat, université Paris-6, 1979.

[8] R.W. Ogden Large deformation isotropic elasticity. On the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Sci., Volume 326 (1972) no. 1567, pp. 565-584

[9] C. Pideri; P. Seppecher A second gradient material resulting from the homogenization of an heterogeneous linear elastic medium, Contin. Mech. Thermodyn., Volume 9 (1997), pp. 241-257

[10] P. Villaggio The main elastic capacities of a spheroid, Arch. Ration. Mech. Anal., Volume 92 (1986) no. 4, pp. 337-353

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