Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field

Philippe G. Ciarlet; Cristinel Mardare

doi:10.1016/j.crma.2013.05.001

Mathematical Problems in Mechanics

Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field
[Expression de conditions aux limites de Dirichlet en fonction du champ de tenseurs de Cauchy–Green]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Cristinel Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Université Pierre-et-Marie-Curie, laboratoire Jacques-Louis-Lions, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 323-327.

Résumé
Abstract

Dans un travail antérieur, on a montré comment le champ $C : = {\nabla Φ}^{T} \nabla Φ \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ , $s > 3 / 2$ , des tenseurs de Cauchy–Green peut être considéré comme la seule inconnue dans le problème de Dirichlet homogène pour lʼélasticité non linéaire posé sur un domaine $Ω \subset R^{3}$ , au lieu de la déformation $Φ \in W^{3, s} (Ω; R^{3})$ dans lʼapproche habituelle. Lʼobjet de cette Note est de montrer que la même approche sʼapplique aussi bien au problème de Dirichlet–Neumann. À cette fin, nous montrons comment la condition aux limites $Φ = Φ_{0}$ sur une portion $Γ_{0}$ de la frontière de Ω peut être ré-écrite, à nouveau sous forme de conditions aux limites sur $Γ_{0}$ , mais exprimées cette fois uniquement en fonction de la nouvelle inconnue $C \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ .

In a previous work, it was shown how the Cauchy–Green tensor field $C : = {\nabla Φ}^{T} \nabla Φ \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ , $s > 3 / 2$ , can be considered as the sole unknown in the homogeneous Dirichlet problem of nonlinear elasticity posed over a domain $Ω \subset R^{3}$ , instead of the deformation $Φ \in W^{3, s} (Ω; R^{3})$ in the usual approach. The purpose of this Note is to show that the same approach applies as well to the Dirichlet–Neumann problem. To this end, we show how the boundary condition $Φ = Φ_{0}$ on a portion $Γ_{0}$ of the boundary of Ω can be recast, again as boundary conditions on $Γ_{0}$ , but this time expressed only in terms of the new unknown $C \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ .

Accepté le : 2013-05-03
Publié le : 2013-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.05.001

Affiliations des auteurs :

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Cristinel Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Université Pierre-et-Marie-Curie, laboratoire Jacques-Louis-Lions, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

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TY  - JOUR
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Philippe G. Ciarlet; Cristinel Mardare. Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 323-327. doi : 10.1016/j.crma.2013.05.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.05.001/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

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