Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the strain tensor in linearized elasticity

Philippe Ciarlet; Cristinel Mardare

doi:10.1016/j.crma.2013.04.015

Mathematical Problems in Mechanics

Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the strain tensor in linearized elasticity
[Expression de conditions aux limites de Dirichlet en fonction du tenseur linéarisé des déformations]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Philippe Ciarlet ¹ ; Cristinel Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire Jacques-Louis-Lions, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 329-334.

Résumé
Abstract

Dans un travail antérieur, on a montré comment le champ $e : = \frac{1}{2} (\nabla u^{T} + \nabla u) \in L^{2} (Ω)$ des tenseurs linéarisés des déformations peut être considéré comme la seule inconnue dans le problème de Neumann pour lʼélasticité linéarisée posé sur un domaine $Ω \subset R^{3}$ , au lieu du champ $u \in H^{1} (Ω)$ des déplacements dans lʼapproche habituelle. Lʼobjet de cette Note est de montrer que la même approche sʼapplique aussi bien au problème de Dirichlet–Neumann. À cette fin, nous montrons comment la condition aux limites $u = 0$ sur une portion $Γ_{0}$ de la frontière de Ω peut être ré-écrite, à nouveau sous forme de conditions aux limites sur $Γ_{0}$ , mais exprimées cette fois uniquement en fonction de la nouvelle inconnue $e \in L^{2} (Ω)$ .

In a previous work, it was shown how the linearized strain tensor field $e : = \frac{1}{2} (\nabla u^{T} + \nabla u) \in L^{2} (Ω)$ can be considered as the sole unknown in the Neumann problem of linearized elasticity posed over a domain $Ω \subset R^{3}$ , instead of the displacement vector field $u \in H^{1} (Ω)$ in the usual approach. The purpose of this Note is to show that the same approach applies as well to the Dirichlet–Neumann problem. To this end, we show how the boundary condition $u = 0$ on a portion $Γ_{0}$ of the boundary of Ω can be recast, again as boundary conditions on $Γ_{0}$ , but this time expressed only in terms of the new unknown $e \in L^{2} (Ω)$ .

Reçu le : 2013-04-18
Publié le : 2013-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.04.015

Affiliations des auteurs :

Philippe Ciarlet ¹ ; Cristinel Mardare ²

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Philippe Ciarlet; Cristinel Mardare. Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the strain tensor in linearized elasticity. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 329-334. doi : 10.1016/j.crma.2013.04.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.04.015/

Bibliographie
Cité par

[1] T. Aubin Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer, Berlin, 2010

[2] P.G. Ciarlet An Introduction to Differential Geometry with Applications to Elasticity, Springer, Dordrecht, 2005

[3] P.G. Ciarlet Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, SIAM, Providence, 2013

[4] P.G. Ciarlet; P. Ciarlet Another approach to linearized elasticity and a new proof of Kornʼs inequality, Math. Models Methods Appl. Sci., Volume 15 (2005), pp. 259-271

[5] P.G. Ciarlet, C. Mardare, Intrinsic formulation of the displacement–traction problem in linearized elasticity, in preparation.

[6] P.G. Ciarlet; S. Mardare On Kornʼs inequalities in curvilinear coordinates, Math. Models Methods Appl. Sci., Volume 11 (2001), pp. 1379-1391

[7] J. Nečas Equations aux Dérivées Partielles, Presses de lʼuniversité de Montréal, 1966

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