Comptes Rendus
no. 2
Partial differential equations
Cauchy problem for effectively hyperbolic operators with triple characteristics
[Problème de Cauchy pour des opérateurs effectivement hyperboliques ayant des caractéristiques triples]

Présenté par : Jean-Michel Bony

Enrico Bernardi1 ; Antonio Bove2 ; Vesselin Petkov3
1 Dipartimento di Scienze Statistiche, Università di Bologna, Viale Filopanti 5, 40126 Bologna, Italy
2 Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Piazza di Porta S. Donato 5, 40127 Bologna, Italy
3 Université Bordeaux I, Institut de Mathématiques, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 2, pp. 109-112.

We study a class of third-order effectively hyperbolic operators P in G={(t,x):0⩽t⩽T,x∈U⋐Rn} with triple characteristics at ρ=(0,x0,ξ),ξ∈Rn∖{0}. V. Ivrii introduced the conjecture that every effectively hyperbolic operator is strongly hyperbolic, that is the Cauchy problem for P+Q is locally well posed for any lower-order terms Q. For operators with triple characteristics, this conjecture was established [3] in the case when the principal symbol of P admits a factorization as a product of two symbols of principal type. A strongly hyperbolic operator in G could have triple characteristics in G only for t=0 or for t=T. The operators that we investigate have a principal symbol which in general is not factorizable and we prove that these operators are strongly hyperbolic if T is small enough.

On étudie une classe dʼopérateurs effectivement hyperboliques P dans G={(t,x):0⩽t⩽T,x∈U⋐Rn} ayant des caractéristiques triples pour ρ=(0,x0,ξ),ξ∈Rn∖{0}. V. Ivrii a introduit la conjecture selon laquelle chaque opérateur effectivement hyperbolique est fortement hyperbolique, cʼest-à-dire telle que le problème de Cauchy pour P+Q soit localement bien posé pour tout opérateur Q dʼordre inférieur à celui de P. Pour des opérateurs ayant des caractéristiques triples, cette conjecture a été démontrée [3] pour le cas où le symbole principal de P admet une factorisation comme produit de deux symboles du type principal. Un opérateur fortement hyperbolique pourrait avoir des caractéristiques triples seulement pour t=0 ou pour t=T. Les opérateurs que nous examinons ont en général un symbole principal qui nʼest pas factorisable, et nous prouvons quʼils sont fortement hyperboliques si T est suffisamment petit.

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DOI : 10.1016/j.crma.2013.10.009

Enrico Bernardi 1 ; Antonio Bove 2 ; Vesselin Petkov 3

1 Dipartimento di Scienze Statistiche, Università di Bologna, Viale Filopanti 5, 40126 Bologna, Italy
2 Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Piazza di Porta S. Donato 5, 40127 Bologna, Italy
3 Université Bordeaux I, Institut de Mathématiques, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France 
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Enrico Bernardi; Antonio Bove; Vesselin Petkov. Cauchy problem for effectively hyperbolic operators with triple characteristics. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 2, pp. 109-112. doi : 10.1016/j.crma.2013.10.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.10.009/

[1] E. Bernardi; A. Bove; V. Petkov Cauchy problem for effectively hyperbolic operators with triple characteristics of variable multiplicities | arXiv

[2] L. Hörmander Analysis of Linear Partial Differential Operators, III, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985

[3] V. Ivrii Sufficient conditions for regular and completely regular hyperbolicity, Tr. Mosk. Mat. Obš., Volume 33 (1976), pp. 3-66 (in Russian), English translation: Trans. Mosc. Math. Soc. 1 (1978) 165

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[5] N. Iwasaki The Cauchy problem for effectively hyperbolic equations (general case), J. Math. Kyoto Univ., Volume 25 (1985), pp. 727-743

[6] R. Melrose The Cauchy problem for effectively hyperbolic operators, Hokkaido Math. J., Volume 12 (1983), pp. 371-391

[7] T. Nishitani Local energy integrals for effectively hyperbolic operators, I, II, J. Math. Kyoto Univ., Volume 24 (1984), pp. 623-658 (and 659–666)

[8] O.A. Oleinik On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations, Commun. Pure Appl. Math., Volume 23 (1970), pp. 569-586

Cité par Sources :

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