Comptes Rendus
no. 5
Partial differential equations/Numerical analysis
Homogenization of heat diffusion in a cracked medium
[Équation de la chaleur dans un milieu fracturé]

Présenté par : Alain Bensoussan

Xavier Blanc1 ; Benjamin-Édouard Peigney2
1 Laboratoire Jacques-Louis-Lions, université Paris-7-Denis-Diderot, bâtiment Sophie-Germain, 5, rue Thomas-Mann, 75205 Paris cedex 13, France
2 CEA-DAM Île de France, Bruyères-le-Chatel, 91297 Arpajon cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 5, pp. 405-409.

Nous présentons dans cette Note une méthode originale pour traiter la propagation de la chaleur dans un milieu fracturé. Nous considérons ici le cas de fractures perpendiculaires à l'axe du matériau, de profondeur unité, et disposées périodiquement. Nous montrons que la perturbation du flux induite par la fracture peut être redistribuée en un terme source en volume dans l'équation homogénéisée.

We develop in this Note a homogenization method to tackle the problem of a diffusion process through a cracked medium. We assume that the cracks are orthogonal to the surface of the material, where an incoming heat flux is applied. The cracks are supposed to be of depth 1, of small width, and periodically arranged. We show that the cracked surface of the domain induces a volume source term in the homogenized equation.

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DOI : 10.1016/j.crma.2014.03.003
Xavier Blanc 1 ; Benjamin-Édouard Peigney 2

1 Laboratoire Jacques-Louis-Lions, université Paris-7-Denis-Diderot, bâtiment Sophie-Germain, 5, rue Thomas-Mann, 75205 Paris cedex 13, France
2 CEA-DAM Île de France, Bruyères-le-Chatel, 91297 Arpajon cedex, France 
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Xavier Blanc; Benjamin-Édouard Peigney. Homogenization of heat diffusion in a cracked medium. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 5, pp. 405-409. doi : 10.1016/j.crma.2014.03.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2014.03.003/

[1] Yves Achdou; O. Pironneau; F. Valentin Effective boundary conditions for laminar flows over periodic rough boundaries, J. Comput. Phys., Volume 147 (1998) no. 1, pp. 187-218

[2] Youcef Amirat; Olivier Bodart; Umberto De Maio; Antonio Gaudiello Effective boundary condition for Stokes flow over a very rough surface, J. Differential Equations, Volume 254 (2013) no. 8, pp. 3395-3430

[3] A. Bensoussan; J.-L. Lions; G. Papanicolaou Asymptotic Analysis of Periodic Structures, Studies in Mathematics and Its Applications, vol. 5, North-Holland Publishing Co., Amsterdam–New York, 1978

[4] X. Blanc, B. Peigney, Homogenization of heat diffusion in a cracked medium, to appear in Multiscale Model. Simul.

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[6] F. Hecht; O. Pironneau; A. Le Hyaric; K. Ohtsuke FreeFem++ (manual), 2007 http://www.freefem.org

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