Grandes valeurs d'une fonction additive liée aux diviseurs généralisés d'un nombre entier

Abdallah Derbal

doi:10.1016/j.crma.2014.05.002

Théorie des nombres

Grandes valeurs d'une fonction additive liée aux diviseurs généralisés d'un nombre entier
[Large values of an additive function linked with generalized divisors of an integer]

le Comité de rédaction

Abdallah Derbal ¹

¹École normale supérieure, département de mathématiques, BP 92, Kouba, Alger, Algérie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 7-8, pp. 547-550

Résumé (Original language)
Abstract

Soient, pour un nombre entier $n = \prod_{p^{a} ‖ n} p^{a} ⩾ 2$ , les fonctions $f (n) = \sum_{p^{a} ‖ n} \sum_{m = 1}^{a} \frac{1}{m}$ (fonction additive) $(f (1) = 0)$ et $Λ (n) = \frac{f (n) \ln \ln n}{\ln n}$ . Il est démontré que ${\lim \sup}_{n \to \infty} Λ (n) = 1$ et $\max_{n ⩾ 2} Λ (n) = Λ (232 792 560) = 1, 471561 \dots$ Ces résultats nécessitent l'introduction, l'étude et le calcul effectif des nombres 1-hautement composés supérieurs. Ces nombres sont similaires aux nombres hautement composés supérieurs de Ramanujan.

For an integer $n = \prod_{p^{a} ‖ n} p^{a} ⩾ 2$ , let us define the following functions $f (n) = \sum_{p^{a} ‖ n} \sum_{m = 1}^{a} \frac{1}{m}$ (additive function) ( $f (1) = 0$ ) and $Λ (n) = \frac{f (n) \ln \ln n}{\ln n}$ . It is proved that ${\lim \sup}_{n \to \infty} Λ (n) = 1$ and $\max_{n ⩾ 2} Λ (n) = Λ (232 792 560) = 1.471561 \dots$ For these results, we have introduced, studied and effectively computed the so-called 1-superior highly composite numbers. These numbers are similar to the superior highly composite numbers of Ramanujan.

Article information
Cite this article

Received: 2014-02-03
Accepted: 2014-05-07
Published online: 2014-06-12

DOI: 10.1016/j.crma.2014.05.002

Author's affiliations:

Abdallah Derbal ¹

¹ École normale supérieure, département de mathématiques, BP 92, Kouba, Alger, Algérie

Abdallah Derbal. Grandes valeurs d'une fonction additive liée aux diviseurs généralisés d'un nombre entier. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 7-8, pp. 547-550. doi: 10.1016/j.crma.2014.05.002

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References
Cited by

[1] G.E. Andrews; B.C. Berndt Ramanujan's Lost Notebook, Part III, Springer, 2012

[2] L. Alaoglu; P. Erdős On highly composite and similar numbers, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 56 (1944), pp. 448-469

[3] J.-L. Duras; J.-L. Nicolas; G. Robin Grandes valeurs de la fonction $d_{k} (n)$ , Pologne, 1997 (K. Györy; H. Iwaniec; J. Urbanowicz, eds.) (Proceedings de la conférence de Zakopane), Walter de Gruyter, Berlin, New York (1997), pp. 743-770

[4] J.-L. Nicolas; G. Robin Majorations explicites pour le nombre de diviseurs de N, Can. Math. Bull., Volume 26 (1983), pp. 485-492

[5] S. Ramanujan Highly composite numbers, annotated and with a foreword by J.-L. Nicolas and G. Robin, Ramanujan J., Volume 1 (1997), pp. 119-153

[6] G. Robin Grandes valeurs de fonctions arithmétiques et problèmes d'optimisation en nombres entiers, 1983 (thèse de doctorat des sciences mathématiques, Limoges, France)

[7] G. Robin Estimation de la fonction de Tchebychev θ sur le k-ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction $ω (n)$ nombre de diviseurs premiers de n, Acta Arith., Volume 42 (1983), pp. 367-389

[8] J.B. Rosser; L. Schoenfeld Approximate formulas for some functions of prime numbers, Ill. J. Math., Volume 6 (1962), pp. 64-94

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