Comptes Rendus
no. 9
Partial differential equations
Remarks on a lemma by Jacques-Louis Lions
[Remarques sur un lemme de Jacques-Louis Lions]

Présenté par : the Editorial board

Chérif Amrouche1 ; Philippe G. Ciarlet2 ; Cristinel Mardare3
1 Laboratoire de mathématiques et de leurs applications, UMR–CNRS 5142, Université de Pau et des pays de l'Adour, avenue de l'Université, 64000 Pau, France
2 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
3 Laboratoire Jacques-Louis-Lions, UMR CNRS 7598, Sorbonne Universités, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 9, pp. 691-695.

Soit Ω un ouvert borné et connesce de RN de frontière ∂Ω lipschitzienne, l'ensemble Ω étant localement du même côté de ∂Ω. On montre dans cette Note qu'une caractérisation fondamentale de l'espace L2(Ω) due à Jacques-Louis Lions est en fait équivalente à un certain nombre d'autres propriétés. L'une des clés pour établir ces équivalences est un « lemme d'approximation » spécifique, qui constitue lui-même l'une de ces propriétés équivalentes.

Let Ω be a bounded and connected open subset of RN with a Lipschitz-continuous boundary ∂Ω, the set Ω being locally on one side of ∂Ω. It is shown in this Note that a fundamental characterization of the space L2(Ω) due to Jacques-Louis Lions is in effect equivalent to a variety of other properties. One of the keys for establishing these equivalences is a specific “approximation lemma”, itself one of these equivalent properties.

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DOI : 10.1016/j.crma.2014.08.003
Chérif Amrouche 1 ; Philippe G. Ciarlet 2 ; Cristinel Mardare 3

1 Laboratoire de mathématiques et de leurs applications, UMR–CNRS 5142, Université de Pau et des pays de l'Adour, avenue de l'Université, 64000 Pau, France
2 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
3 Laboratoire Jacques-Louis-Lions, UMR CNRS 7598, Sorbonne Universités, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France 
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Chérif Amrouche; Philippe G. Ciarlet; Cristinel Mardare. Remarks on a lemma by Jacques-Louis Lions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 9, pp. 691-695. doi : 10.1016/j.crma.2014.08.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2014.08.003/

[1] C. Amrouche, P.G. Ciarlet, C. Mardare, On a lemma due to Jacques-Louis Lions and its relation to other fundamental results, in preparation.

[2] C. Amrouche; V. Girault Decomposition of vector spaces and application to the Stokes problem in arbitrary dimension, Czechoslov. Math. J., Volume 44 (1994), pp. 109-140

[3] M.E. Bogovskii Solution of the first boundary value problem for the equation of continuity of an incompressible medium, Sov. Math. Dokl., Volume 20 (1979), pp. 1094-1098

[4] W. Borchers; H. Sohr On the equations rotv=g and divu=f with zero boundary conditions, Hokkaido Math. J., Volume 19 (1990), pp. 67-87

[5] P.G. Ciarlet Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, SIAM, Philadelphia, 2013

[6] P.G. Ciarlet; P. Ciarlet Another approach to linearized elasticity and a new proof of Korn's inequality, Math. Models Methods Appl. Sci., Volume 15 (2005), pp. 259-271

[7] G. Duvaut; J.-L. Lions Les équations en mécanique et en physique, Dunod, Paris, 1972

[8] G. Geymonat; P. Suquet Functional spaces for Norton–Hoff materials, Math. Methods Appl. Sci., Volume 8 (1986), pp. 206-222

[9] V. Girault; P.-A. Raviart Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations, Springer, Berlin, 1986

[10] S. Kesavan On Poincaré's and J.-L. Lions' lemmas, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 340 (2005), pp. 27-30

[11] J. Nečas Équations aux dérivées partielles, Presses de l'Université de Montréal, 1965

[12] L. Tartar Topics in Nonlinear Analysis, Publications mathématiques d'Orsay No. 78.13, Université de Paris-Sud, Département de mathématique, Orsay, 1978

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