Comptes Rendus
no. 3
Number theory/Dynamical systems
On metric Diophantine approximation in matrices and Lie groups
[Approximation diophantienne métrique dans les matrices et les groupes de Lie]

Présenté par : Étienne Ghys

Menny Aka1 ; Emmanuel Breuillard2 ; Lior Rosenzweig3 ; Nicolas de Saxcé4
1 Departement Mathematik, ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Switzerland
2 Laboratoire de mathématiques, bâtiment 425, Université Paris-Sud (Paris-11), 91405 Orsay cedex, France
3 Department of Mathematics, KTH, SE-100 44 Stockholm, Sweden
4 LAGA, Institut Galilée, Université Paris-13, 93430 Villetaneuse, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 3, pp. 185-189.

Nous étudions l'exposant diophantien des sous-variétés analytiques de matrices réelles m×n et répondons à certaines questions posées par Beresnevich, Kleinbock et Margulis. Nous identifions une famille d'obstructions algébriques à l'extrémalité d'une telle sous-variété, et donnons une formule pour l'exposant lorsque celle-ci est définie sur Q. Enfin, nous appliquons ces résultats à la détermination de l'exposant diophantien des groupes de Lie nilpotents rationnels.

We study the Diophantine exponent of analytic submanifolds of m×n real matrices, answering questions of Beresnevich, Kleinbock, and Margulis. We identify a family of algebraic obstructions to the extremality of such a submanifold, and give a formula for the exponent when the submanifold is algebraic and defined over Q. We then apply these results to the determination of the Diophantine exponent of rational nilpotent Lie groups.

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DOI : 10.1016/j.crma.2014.12.007

Menny Aka 1 ; Emmanuel Breuillard 2 ; Lior Rosenzweig 3 ; Nicolas de Saxcé 4

1 Departement Mathematik, ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Switzerland
2 Laboratoire de mathématiques, bâtiment 425, Université Paris-Sud (Paris-11), 91405 Orsay cedex, France
3 Department of Mathematics, KTH, SE-100 44 Stockholm, Sweden
4 LAGA, Institut Galilée, Université Paris-13, 93430 Villetaneuse, France 
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Menny Aka; Emmanuel Breuillard; Lior Rosenzweig; Nicolas de Saxcé. On metric Diophantine approximation in matrices and Lie groups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 3, pp. 185-189. doi : 10.1016/j.crma.2014.12.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2014.12.007/

[1] M. Aka; E. Breuillard; L. Rosenzweig; N. de Saxcé Diophantine properties of nilpotent Lie groups, Compos. Math. (2015) (32 pages. Published online: 13 January 2015) | DOI

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