Une inégalité de Korn non linéaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$

Philippe G. Ciarlet; Sorin Mardare

doi:10.1016/j.crma.2015.07.009

Équations aux dérivées partielles/Problèmes mathématiques de la mécanique

Une inégalité de Korn non linéaire dans

W^{2, p}

,

p > n

[A nonlinear Korn inequality in

W^{2, p}

,

p > n

]

Presented by: Philippe G. Ciarlet

Philippe G. Ciarlet ¹; Sorin Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, Université de Rouen, avenue de l'Université, BP 12, Technopôle du Madrillet, 76801 Saint-Étienne-du-Rouvray, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 10, pp. 905-911.

Abstract
Résumé

Let Ω be a bounded and connected open subset of $R^{n}$ that satisfies the uniform interior cone property and let $p > n$ . We establish a nonlinear Korn inequality in $W^{2, p}$ , which provides an upper bound of the ${‖ \cdot ‖}_{W^{2, p} (Ω)}$ -norm of the difference between two immersions $φ \in W^{2, p} (Ω)$ and $\tilde{φ} \in W^{2, p} (Ω)$ in terms of the ${‖ \cdot ‖}_{W^{1, p} (Ω)}$ -norm of the difference between their associated metric tensors $\nabla φ^{T} \nabla φ \in W^{1, p} (Ω)$ and $\nabla {\tilde{φ}}^{T} \nabla \tilde{φ} \in W^{1, p} (Ω)$ .

Second, let Ω be a bounded, simply-connected, open subset of $R^{n}$ with a Lipschitz boundary, the set Ω being locally on the same side of its boundary. Using the above nonlinear Korn inequality in $W^{2, p}$ , we establish the local Lipschitz-continuity of the mapping $C \in W^{1, p} (Ω) \to φ \in W^{2, p} (Ω)$ , which is well-defined when the components of the Riemann curvature tensor associated with C vanish in $D^{'} (Ω)$ , the immersion $φ \in W^{2, p} (Ω)$ being the solution, unique up to an isometry of $E^{n}$ , of the equation $\nabla φ^{T} \nabla φ = C$ in Ω.

Soit Ω un ouvert borné connexe de $R^{n}$ satisfaisant la propriété du cône intérieur uniforme et soit $p > n$ . On établit une inégalité de Korn non linéaire dans $W^{2, p}$ , qui fournit une borne supérieure de la norme ${‖ \cdot ‖}_{W^{2, p} (Ω)}$ de la différence entre deux immersions $φ \in W^{2, p} (Ω)$ et $\tilde{φ} \in W^{2, p} (Ω)$ en fonction de la norme ${‖ \cdot ‖}_{W^{1, p} (Ω)}$ de la différence entre leurs tenseurs métriques associés $\nabla φ^{T} \nabla φ \in W^{1, p} (Ω)$ et $\nabla {\tilde{φ}}^{T} \nabla \tilde{φ} \in W^{1, p} (Ω)$ .

Soit ensuite Ω un ouvert borné simplement connexe de $R^{n}$ à frontière lipschitzienne, l'ensemble Ω étant situé localement d'un seul côté de sa frontière. Utilisant l'inégalité de Korn non linéaire dans $W^{2, p}$ ci-dessus, on établit la Lipschitz-continuité locale de l'application $C \in W^{1, p} (Ω) \to φ \in W^{2, p} (Ω)$ , qui est bien définie lorsque les composantes du tenseur de courbure de Riemann associé à C s'annulent dans $D^{'} (Ω)$ , l'immersion $φ \in W^{2, p} (Ω)$ étant la solution, unique à une isométrie de $E^{n}$ près, de l'équation $\nabla φ^{T} \nabla φ = C$ dans Ω.

Received: 2015-07-22
Accepted: 2015-07-23
Published online: 2015-08-24

DOI: 10.1016/j.crma.2015.07.009

Author's affiliations:

Philippe G. Ciarlet ¹; Sorin Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, Université de Rouen, avenue de l'Université, BP 12, Technopôle du Madrillet, 76801 Saint-Étienne-du-Rouvray, France

@article{CRMATH_2015__353_10_905_0,
     author = {Philippe G. Ciarlet and Sorin Mardare},
     title = {Une in\'egalit\'e de {Korn} non lin\'eaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {905--911},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {353},
     number = {10},
     year = {2015},
     doi = {10.1016/j.crma.2015.07.009},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Philippe G. Ciarlet
AU  - Sorin Mardare
TI  - Une inégalité de Korn non linéaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2015
SP  - 905
EP  - 911
VL  - 353
IS  - 10
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2015.07.009
LA  - fr
ID  - CRMATH_2015__353_10_905_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Philippe G. Ciarlet
%A Sorin Mardare
%T Une inégalité de Korn non linéaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2015
%P 905-911
%V 353
%N 10
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2015.07.009
%G fr
%F CRMATH_2015__353_10_905_0

Philippe G. Ciarlet; Sorin Mardare. Une inégalité de Korn non linéaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 10, pp. 905-911. doi : 10.1016/j.crma.2015.07.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.07.009/

References
Cited by

[1] R. Abraham; J.E. Marsden; T. Ratiu Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Springer, New York, 1985

[2] R.A. Adams Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975

[3] P.G. Ciarlet; C. Mardare Continuity of a deformation in $H^{1}$ as a function of its Cauchy–Green tensor in $L^{1}$ , J. Nonlinear Sci., Volume 14 (2004), pp. 415-427

[4] P.G. Ciarlet; C. Mardare Inégalités de Korn non linéaires dans $R^{n}$ , avec ou sans conditions aux limites, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 353 (2015) no. 6, pp. 563-568

[5] P.G. Ciarlet; C. Mardare Nonlinear Korn inequalities, J. Math. Pures Appl. (2015) (à paraître) | DOI

[6] P.G. Ciarlet; C. Mardare; S. Mardare Recovery of immersions from their metric tensors and nonlinear Korn inequalities: a brief survey, Chin. Ann. Math. Ser. B (2015) (à paraître)

[7] P.G. Ciarlet, S. Mardare, Immersions in $W^{2, p}, p > n$ , as functions of their metric tensors in $W^{1, p}$ , in preparation.

[8] S. Conti Low-energy deformations of thin elastic plates: isometric embeddings and branching patterns, Universität Leipzig, Allemagne, 2004 (Habilitationsschrift)

[9] R. Dautray; J.-L. Lions Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Volume 2: Functional and Variational Methods, Springer, 2000

[10] G. Friesecke; R. James; S. Müller A theorem on geometric rigidity and the derivation of nonlinear plate theory from three dimensional elasticity, Commun. Pure Appl. Math., Volume 55 (2002), pp. 1461-1506

[11] F. John Rotation and strain, Commun. Pure Appl. Math., Volume 14 (1961), pp. 391-413

[12] F. John Bounds for deformations in terms of average strains (O. Shisha, ed.), Inequalities III, Academic Press, New York, 1972, pp. 129-144

[13] R.V. Kohn New integral estimates for deformations in terms of their nonlinear strains, Arch. Ration. Mech. Anal., Volume 78 (1982), pp. 131-172

[14] S. Mardare On isometric immersions of a Riemannian space with little regularity, Anal. Appl., Volume 2 (2004), pp. 193-226

[15] S. Mardare On systems of first order linear partial differential equations with $L^{p}$ coefficients, Adv. Differ. Equ., Volume 12 (2007), pp. 301-360

[16] J. Nečas Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques, Masson, Paris, 1967

Cited by Sources:

Comments - Policy