Valeurs moyennes d'une fonction liée aux diviseurs d'un nombre entier

Abdallah Derbal; Meselem Karras

doi:10.1016/j.crma.2016.03.007

Théorie des nombres

Valeurs moyennes d'une fonction liée aux diviseurs d'un nombre entier

Présenté par : le comité de rédaction

Abdallah Derbal ¹ ; Meselem Karras ¹

¹ Département de mathématiques, École normale supérieure, Vieux-Kouba Alger, Algérie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 6, pp. 555-558.

Résumé
Abstract

Soient $d (n)$ et $d^{⁎} (n)$ le nombre de diviseurs et le nombre de diviseurs unitaires de l'entier n, et posons $S (x) = \sum_{n \leq x} D (n) = \sum_{n \leq x} \frac{d (n)}{d^{⁎} (n)}$ $(x \geq 1)$ . Un diviseur d d'un entier n est dit unitaire s'il est premier avec $\frac{n}{d}$ . Dans cet article, nous montrons que $S (x) \sim A x (x \to + \infty)$ , où $A = \frac{π^{2}}{6} \prod_{p} (1 - \frac{1}{2 p^{2}} + \frac{1}{2 p^{3}}) = 1, 4276565 \dots$ , et que pour tout $x \geq 1$ , $S (x) = A x + R (x)$ , tel que

| R (x) | \leq \frac{3}{2} ζ (\frac{3}{2}) x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{4} ζ (\frac{2}{3}) x^{\frac{1}{3}} + O (x^{\frac{1}{5}}) .

Let $d (n)$ and $d^{⁎} (n)$ be the numbers of divisors and the numbers of unitary divisors of the integer n, and let $S (x) = \sum_{n \leq x} D (n) = \sum_{n \leq x} \frac{d (n)}{d^{⁎} (n)}$ $(x \geq 1)$ . A divisor d of a integer n is called unitary if it is prime with $\frac{n}{d}$ . In this paper, we prove that $S (x) \sim A x$ $(x \to + \infty)$ , where $A = \frac{π^{2}}{6} \prod_{p} (1 - \frac{1}{2 p^{2}} + \frac{1}{2 p^{3}}) = 1.4276565 \dots$ , and for all $x \geq 1$ , $S (x) = A x + R (x)$ such that

| R (x) | \leq \frac{3}{2} ζ (\frac{3}{2}) x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{4} ζ (\frac{2}{3}) x^{\frac{1}{3}} + O (x^{\frac{1}{5}}) .

Reçu le : 2015-12-12
Accepté le : 2016-03-14
Publié le : 2016-04-14

DOI : 10.1016/j.crma.2016.03.007

Affiliations des auteurs :

Abdallah Derbal ¹ ; Meselem Karras ¹

¹ Département de mathématiques, École normale supérieure, Vieux-Kouba Alger, Algérie

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Abdallah Derbal; Meselem Karras. Valeurs moyennes d'une fonction liée aux diviseurs d'un nombre entier. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 6, pp. 555-558. doi : 10.1016/j.crma.2016.03.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.03.007/

Bibliographie
Cité par

[1] T.M. Apostol Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976

[2] A. Derbal Ordre maximum d'une fonction liée aux diviseurs d'un nombre entier, Integers, Volume 12 (2012)

[3] K. Ford Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta Function, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 85 (2002), pp. 565-633

[4] E. Krätzel Lattice Points, Kluwer Academic Publishers, 1988

[5] D.P. Parent Exercices de théorie des nombres, Gauthier-Villars, Paris, 1978

Cité par Sources :

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