[On Euler's example of a completely multiplicative function with sum 0]
Euler published a formula that now reads , λ being the completely multiplicative function equal to −1 on the prime numbers. Thus is an example of a CMO function (completely multiplicative with sum 0). We extend this formula by considering λ as defined on Beurling's generalized prime numbers and integers, according to Diamond's condition on generalized primes, which implies a regular distribution of the generalized integers (théorème 3). As an application, we show how to contruct a CMO function carried by a set of integers whose counting function is of the form , for any given a between 0 and 1 (théorème 1).
Euler a publié une formule que nous écrivons aujourd'hui , λ étant la fonction complètement multiplicative qui vaut −1 sur les nombres premiers. Ainsi, est un exemple de fonction CMO (complètement multiplicative à somme nulle). Nous étendons cette formule au cas où λ est définie sur des nombres premiers et entiers généralisés de Beurling, suivant la condition sur les premiers généralisés donnée par Diamond pour assurer la régularité de la distribution des entiers généralisés (théorème 3). En guise d'application, nous indiquons comment construire, pour tout a entre 0 et 1, une fonction CMO dont la distribution du support est de la forme (théorème 1).
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Jean-Pierre Kahane 1; Éric Saïas 2
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TY - JOUR AU - Jean-Pierre Kahane AU - Éric Saïas TI - Sur l'exemple d'Euler d'une fonction complètement multiplicative à somme nulle JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2016 SP - 559 EP - 561 VL - 354 IS - 6 PB - Elsevier DO - 10.1016/j.crma.2016.03.009 LA - fr ID - CRMATH_2016__354_6_559_0 ER -
Jean-Pierre Kahane; Éric Saïas. Sur l'exemple d'Euler d'une fonction complètement multiplicative à somme nulle. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 6, pp. 559-561. doi : 10.1016/j.crma.2016.03.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.03.009/
[1] Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math., Volume 68 (1937), pp. 255-291
[2] When do Beurling generalized integers have a density ?, J. Reine Angew. Math., Volume 295 (1977), pp. 22-39
[3] Variae observationes circa series infinitas (1737–1739), Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 14, Teubner, 1925, pp. 216-244 (Voir Theorema 18, p. 241)
[4] J.–P. Kahane, E. Saïas, Fonctions complètement multiplicatives de somme nulle, prépublication, arXiv:1507-04858.
Cited by Sources:
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