Comptes Rendus
no. 6
Théorie des nombres
Sur l'exemple d'Euler d'une fonction complètement multiplicative à somme nulle

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Jean-Pierre Kahane1 ; Éric Saïas2
1 Laboratoire de mathématiques d'Orsay, université Paris-Sud, CNRS, université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France
2 Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires, université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 6, pp. 559-561.

Euler a publié une formule que nous écrivons aujourd'hui ∑1∞λ(n)n=0, λ étant la fonction complètement multiplicative qui vaut −1 sur les nombres premiers. Ainsi, (λ(n)n) est un exemple de fonction CMO (complètement multiplicative à somme nulle). Nous étendons cette formule au cas où λ est définie sur des nombres premiers et entiers généralisés de Beurling, suivant la condition sur les premiers généralisés donnée par Diamond pour assurer la régularité de la distribution des entiers généralisés (théorème 3). En guise d'application, nous indiquons comment construire, pour tout a entre 0 et 1, une fonction CMO dont la distribution du support est de la forme Dxa(1+o(1)) (x→∞) (théorème 1).

Euler published a formula that now reads ∑1∞λ(n)n=0, λ being the completely multiplicative function equal to −1 on the prime numbers. Thus (λ(n)n) is an example of a CMO function (completely multiplicative with sum 0). We extend this formula by considering λ as defined on Beurling's generalized prime numbers and integers, according to Diamond's condition on generalized primes, which implies a regular distribution of the generalized integers (théorème 3). As an application, we show how to contruct a CMO function carried by a set of integers whose counting function is of the form Dxa(1+o(1)) (x→∞), for any given a between 0 and 1 (théorème 1).

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DOI : 10.1016/j.crma.2016.03.009
Jean-Pierre Kahane 1 ; Éric Saïas 2

1 Laboratoire de mathématiques d'Orsay, université Paris-Sud, CNRS, université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France
2 Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires, université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France 
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Jean-Pierre Kahane; Éric Saïas. Sur l'exemple d'Euler d'une fonction complètement multiplicative à somme nulle. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 6, pp. 559-561. doi : 10.1016/j.crma.2016.03.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.03.009/

[1] A. Beurling Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math., Volume 68 (1937), pp. 255-291

[2] H.G. Diamond When do Beurling generalized integers have a density ?, J. Reine Angew. Math., Volume 295 (1977), pp. 22-39

[3] L. Euler Variae observationes circa series infinitas (1737–1739), Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 14, Teubner, 1925, pp. 216-244 (Voir Theorema 18, p. 241)

[4] J.–P. Kahane, E. Saïas, Fonctions complètement multiplicatives de somme nulle, prépublication, arXiv:1507-04858.

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