Une (q,q)-forme différentielle θ de classe C∞ fermée dans une variété projective complexe lisse X plongée dans l'espace projectif Pn donne naissance à une « extension » à l'espace projectif comme courant fermé. Ceci signifie que le nombre d'intersections de ce courant avec l'image directe par l'injection canonique de X d'une forme test C∞ dans X est égal à la valeur de θ sur cette forme test, et que sa restriction à X s'obtient au moyen de l'éclatement de centre X. On définit ainsi une transformation intégrale donnée par un noyau qui est un courant fermé dans Pn×X, et qui est utilisée pour apporter une réponse à un problème de Grothendieck. Ce transformé est encore défini pour un cycle algébrique de codimension q au lieu de la (q,q)-forme différentielle. On obtient une caractérisation des intersections complètes par la positivité du transformé. On obtient aussi une version du théorème de Lefschetz sur la section hyperplane, qui dit que la classe de cohomologie provient de la section hyperplane lorsque l'intersection avec X est transverse en dehors de la section hyperplane.