Comptes Rendus
no. 8
Number theory
An application of the symplectic argument to some Fermat-type equations
[Une application du critère symplectique à quelques équations de Fermat]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Nuno Freitas1 ; Alain Kraus2
1 University of British Columbia, Department of Mathematics, Vancouver, BC V6T 1Z2, Canada
2 Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6), Institut de mathématiques de Jussieu, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 8, pp. 751-755.

Soit p un nombre premier. Au début des années 2000, il a été démontré que les équations de Fermat à coefficients

3xp+8yp+21zp=0et3xp+4yp+5zp=0
ne possèdent pas de solutions non triviales pour un ensemble d'exposants p de densité de Dirichlet 1/4 et 1/8, respectivement. Dans cette note, en utilisant un résultat récent permettant de décider si deux courbes elliptiques sur Q, ayant un certain type de réduction additive en 2, ont leurs modules des points de p-torsion symplectiquement isomorphes, on améliore ces densités à 3/8.

Let p be a prime number. In the early 2000s, it was proved that the Fermat equations with coefficients

3xp+8yp+21zp=0 and 3xp+4yp+5zp=0
do not admit non-trivial solutions for a set of exponents p with Dirichlet density 1/4 and 1/8, respectively. In this note, using a recent criterion to decide if two elliptic curves over Q with certain types of additive reduction at 2 have symplectically isomorphic p-torsion modules, we improve these densities to 3/8.

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DOI : 10.1016/j.crma.2016.06.002
Nuno Freitas 1 ; Alain Kraus 2

1 University of British Columbia, Department of Mathematics, Vancouver, BC V6T 1Z2, Canada
2 Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6), Institut de mathématiques de Jussieu, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France 
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[1] N. Freitas On the Fermat-type equation x3+y3=zp, Comment. Math. Helv. (2016) (in press)

[2] N. Freitas; S. Siksek Fermat's Last Theorem over some small real quadratic fields, Algebra Number Theory, Volume 9 (2015) no. 4, pp. 875-895

[3] E. Halberstadt; A. Kraus Courbes de Fermat : résultats et problèmes, J. Reine Angew. Math., Volume 548 (2002), pp. 167-234

[4] A. Kraus; J. Oesterlé Sur une question de B. Mazur, Math. Ann., Volume 293 (1992), pp. 259-275

[5] J.-P. Serre Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q‾/Q), Duke Math. J., Volume 54 (1987), pp. 179-230

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