Dispersive estimates for the wave equation inside cylindrical convex domains: A model case

Len Meas

doi:10.1016/j.crma.2017.01.005

Mathematical analysis/Partial differential equations

Dispersive estimates for the wave equation inside cylindrical convex domains: A model case
[Estimation de dispersion pour les ondes dans un convexe : le cas modèle]

Présenté par : Gilles Lebeau

Len Meas ¹

¹ Laboratoire Jean-Alexandre-Dieudonné, UMR CNRS 7351, Université de Nice, parc Valrose, 06108 Nice Cedex 02, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 2, pp. 161-165.

Résumé
Abstract

Dans ce travail, nous allons établir des estimations de dispersion locales en temps pour les solutions de l'équation des ondes dans un domaine cylindrique convexe $Ω \subset R^{3}$ à bord $C^{\infty}$ $\partial Ω \neq \emptyset$ . Les estimations de dispersion sont classiquement utilisées pour prouver les estimations de Strichartz. Dans un domaine Ω général, des estimations de Strichartz non optimales ont été démontrées par Blair–Smith–Sogge [1,2]. De meilleures estimations ont été prouvées dans [4] lorsque Ω est strictement convexe. Le cas des domaines cylindriques que nous considérons ici généralise les resultats de [4] dans le cas où la courbure ≥0 dépend de l'angle d'incidence et s'annule dans certaines directions.

In this work, we will establish local in time dispersive estimates for solutions to the model-case Dirichlet wave equation inside a cylindrical convex domain $Ω \subset R^{3}$ with a smooth boundary $\partial Ω \neq \emptyset$ . Let us recall that dispersive estimates are key ingredients to prove Strichartz estimates. Nonoptimal Strichartz estimates for waves inside an arbitrary domain Ω have been proved by Blair–Smith–Sogge [1,2]. Better estimates in strictly convex domains have been obtained in [4]. Our case of cylindrical domains is an extension of the result of [4] in the case where the curvature radius ≥0 depends on the incident angle and vanishes in some directions.

Reçu le : 2016-09-16
Accepté le : 2017-01-05
Publié le : 2017-01-18

DOI : 10.1016/j.crma.2017.01.005

Affiliations des auteurs :

Len Meas ¹

¹ Laboratoire Jean-Alexandre-Dieudonné, UMR CNRS 7351, Université de Nice, parc Valrose, 06108 Nice Cedex 02, France

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Len Meas. Dispersive estimates for the wave equation inside cylindrical convex domains: A model case. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 2, pp. 161-165. doi : 10.1016/j.crma.2017.01.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.01.005/

Bibliographie
Cité par

[1] M.D. Blair; H.F. Smith; C.D. Sogge On Strichartz estimates for Schrödinger operators in compact manifolds with boundary, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 130 (2008), pp. 247-256

[2] M.D. Blair; H.F. Smith; C.D. Sogge Strichartz estimates for the wave equation on manifolds with boundary, Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire, Volume 26 (2009), pp. 1817-1829

[3] L. Hörmander The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Class. Math., Springer-Verlag, New York, 2003

[4] O. Ivanovici; G. Lebeau; F. Planchon Dispersion for the wave equation inside strictly convex domains I: the Friedlander model case, Ann. Math. (2), Volume 180 (2014), pp. 323-380

[5] O. Ivanovici; R. Lascar; G. Lebeau; F. Planchon Dispersion for the wave equation inside strictly convex domains II: the general case, 2016 | arXiv

Cité par Sources :

^☆ This work was supported by the ERC project SCAPDE.

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