Lehmer's totient problem over $ {\mathbb{F}}_{q}[x]$

Qingzhong Ji; Hourong Qin

doi:10.1016/j.crma.2017.03.007

Number theory

Lehmer's totient problem over

F_{q} [x]

[Le problème de Lehmer pour la fonction d'Euler sur F_q[x]]

Présenté par : the Editorial Board

Qingzhong Ji ¹ ; Hourong Qin ¹

¹ Department of Mathematics, Nanjing University, Nanjing 210093, PR China

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 4, pp. 370-377.

Résumé
Abstract

Dans cette Note, nous considérons l'analogue dans les corps de fonctions du problème de Lehmer sur la fonction d'Euler. Soit $p (x) \in F_{q} [x]$ et $φ (q, p (x))$ la fonction d'Euler de $p (x)$ sur $F_{q} [x]$ , où $F_{q}$ désigne un corps fini à q éléments. Nous montrons que $φ (q, p (x)) | (q^{\deg (p (x))} - 1)$ si et seulement si (i) $p (x)$ est irréductible, ou (ii) $q = 3$ et $p (x)$ est le produit de deux polynômes irréductibles non associés de degré 1, ou (iii) $q = 2$ et $p (x)$ est le produit de tous les polynômes irréductibles de degré 1, ou le produit de tous les polynômes irréductibles de degrés 1 et 2, ou le produit de trois polynômes irréductibles de degrés 1, 2 et 3, respectivement.

In this paper, we consider the function field analogue of the Lehmer's totient problem. Let $p (x) \in F_{q} [x]$ and $φ (q, p (x))$ be the Euler's totient function of $p (x)$ over $F_{q} [x]$ , where $F_{q}$ is a finite field with q elements. We prove that $φ (q, p (x)) | (q^{\deg (p (x))} - 1)$ if and only if (i) $p (x)$ is irreducible; or (ii) $q = 3$ , $p (x)$ is the product of any 2 non-associate irreducibles of degree 1; or (iii) $q = 2$ , $p (x)$ is the product of all irreducibles of degree 1, all irreducibles of degree 1 and 2, and the product of any 3 irreducibles one each of degree 1, 2 and 3.

Reçu le : 2016-12-14
Accepté le : 2017-03-13
Publié le : 2017-03-21

DOI : 10.1016/j.crma.2017.03.007

Affiliations des auteurs :

Qingzhong Ji ¹ ; Hourong Qin ¹

¹ Department of Mathematics, Nanjing University, Nanjing 210093, PR China

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Qingzhong Ji; Hourong Qin. Lehmer's totient problem over $ {\mathbb{F}}_{q}[x]$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 4, pp. 370-377. doi : 10.1016/j.crma.2017.03.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.03.007/

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