Comptes Rendus
no. 8
Dynamical systems
A notion of Denjoy sub-system
[Une notion de sous-système de Denjoy]

Présenté par : Claire Voisin

Marie-Claude Arnaud1, 2 ; Patrice Le Calvez3
1 Avignon Université, Laboratoire de mathématiques d'Avignon (EA 2151), 84018 Avignon, France
2 Institut universitaire de France, France
3 Sorbonne Universités, UPMC Université Paris-6, Institut de mathématiques de Jussieu—Paris Rive Gauche, UMR 7586, CNRS, Université Paris-Diderot, Sorbonne Paris Cité, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 8, pp. 914-919.

Nous introduisons une notion de sous-système de Denjoy qui généralise celle d'ensemble d'Aubry–Mather. Pour ces systèmes, nous montrons un analogue du théorème de Denjoy (la non-existence de sous-systèmes de Denjoy de classe C2) et étudions leurs exposants de Lyapunov.

We introduce a notion of Denjoy sub-system that generalizes that of the Aubry–Mather set. For such systems, we prove a result similar to Denjoy theorem (non-existence of C2 Denjoy sub-systems), and study their Lyapunov exponents.

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DOI : 10.1016/j.crma.2017.07.010
Marie-Claude Arnaud 1, 2 ; Patrice Le Calvez 3

1 Avignon Université, Laboratoire de mathématiques d'Avignon (EA 2151), 84018 Avignon, France
2 Institut universitaire de France, France
3 Sorbonne Universités, UPMC Université Paris-6, Institut de mathématiques de Jussieu—Paris Rive Gauche, UMR 7586, CNRS, Université Paris-Diderot, Sorbonne Paris Cité, 75005 Paris, France 
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Marie-Claude Arnaud; Patrice Le Calvez. A notion of Denjoy sub-system. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 8, pp. 914-919. doi : 10.1016/j.crma.2017.07.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.07.010/

[1] M.-C. Arnaud The link between the shape of the Aubry–Mather sets and their Lyapunov exponents, Ann. of Math. (2), Volume 174 (2011) no. 3, pp. 1571-1601

[2] M.-C. Arnaud; P. Berger The non-hyperbolicity of irrational invariant curves for twist maps and all that follows, Rev. Mat. Iberoam., Volume 32 (2016) no. 4, pp. 1295-1310

[3] A. Denjoy Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, J. Math. Pures Appl., Volume 11 (1932), pp. 333-376

[4] A. Fathi, Denjoy–Schwartz and Hamilton–Jacobi, in: Proc. Viscosity Solutions of Differential Equations and Related Topics, 25–27 June 2008, in: RIMS Kôkyûroku, vol. 165, pp. 110–131.

[5] M.R. Herman Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., Volume 49 (1979), pp. 5-233 (in French)

[6] P. Le Calvez Les ensembles d'Aubry–Mather d'un difféomorphisme conservatif de l'anneau déviant la verticale sont en général hyperboliques, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 306 (1988) no. 1, pp. 51-54 (in French)

[7] J.N. Mather Existence of quasiperiodic orbits for twist homeomorphisms of the annulus, Topology, Volume 21 (1982) no. 4, pp. 457-467

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