Majoration of the dimension of the space of concatenated solutions to a specific pantograph equation

Jean-François Bertazzon

doi:10.1016/j.crma.2018.01.013

Combinatorics/Ordinary differential equations

Majoration of the dimension of the space of concatenated solutions to a specific pantograph equation
[Majoration de la dimension de l'espace des solutions concaténées d'un cas particulier de l'équation du pantographe]

Présenté par : the Editorial Board

Jean-François Bertazzon ¹

¹ Lycée Notre-Dame-de-Sion, 231, rue Paradis, 13006 Marseille, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 3, pp. 235-242.

Résumé
Abstract

Nous considérons les équations intégrales de la forme suivante pour $λ \in N^{⁎}$ :

\int_{λ y}^{λ x} f (t) d t = f (x) - f (y) for every (x, y) \in R_{+}^{2},

où f est la concaténation de deux fonctions continues

f_{a}, f_{b} : [0, λ] \to R

le long d'un mot infini

u = u_{0} u_{1} \dots \in {a, b}^{N}

tel que

u = σ (u)

, où σ est une substitution λ-uniforme vérifiant certaines propriétés combinatoires.

Il existe des solutions non triviales à ces équations ([1]). Nous montrons dans ce travail que l'espace des solutions est de dimension au plus 2.

For each $λ \in N^{⁎}$ , we consider the integral equation:

\int_{λ y}^{λ x} f (t) d t = f (x) - f (y) for every (x, y) \in R_{+}^{2},

where f is the concatenation of two continuous functions

f_{a}, f_{b} : [0, λ] \to R

along a word

u = u_{0} u_{1} \dots \in {a, b}^{N}

such that

u = σ (u)

, where σ is a λ-uniform substitution satisfying some combinatorial conditions.

There exists some non-trivial solutions ([1]). We show in this work that the dimension of the set of solutions is at most two.

Reçu le : 2017-09-27
Accepté le : 2018-01-22
Publié le : 2018-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2018.01.013

Affiliations des auteurs :

Jean-François Bertazzon ¹

¹ Lycée Notre-Dame-de-Sion, 231, rue Paradis, 13006 Marseille, France

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Jean-François Bertazzon. Majoration of the dimension of the space of concatenated solutions to a specific pantograph equation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 3, pp. 235-242. doi : 10.1016/j.crma.2018.01.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2018.01.013/

Bibliographie
Cité par

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[5] T. Yoneda On the functional-differential equation of advanced type $f^{'} (x) = a f (2 x)$ with $f (0) = 0$ , J. Math. Anal. Appl., Volume 37 (2006) no. 1, pp. 320-330

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