Étude des $(n+1)$-tissus de courbes en dimension $n$

Jean-Paul Dufour; Daniel Lehmann

doi:10.5802/crmath.500

Géométrie et Topologie, Systèmes dynamiques

Étude des

(n + 1)

-tissus de courbes en dimension

n

Jean-Paul Dufour ^1,² ; Daniel Lehmann ^1,³

¹ ancien professeur à l’Université de Montpellier II
² 1 rue du Portalet 34820 Teyran, France
³ 4 rue Becagrun 30980 Saint Dionisy, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 1491-1497.

Résumé (VO)
Abstract

Pour les $(n + 1)$ -tissus en courbes dans une variété ambiante de dimension $n$ , nous définissons d’abord une généralisation de la courbure de Blaschke du cas $n = 2$ . qui s’annule ssi le tissu est de rang maximum 1. Mais, contrairement au cas $n = 2$ pour lequel tous les 3-tissus de rang 1 sont localement isomorphes, nous démontrons l’existence en dimension trois d’une infinité non dénombrable de classes d’isomorphisme de germes de 4-tissus en courbes qui sont de rang un : nous donnons un moyen de les obtenir toutes, et donnons des exemples d’invariants de ces classes d’isomorphisme, permettant en particulier de distinguer parmi elles le cas « quadrilatéral ».

For $(n + 1)$ -webs by curves in an ambiant $n$ -dimensional manifold, we first define a generalization of the well known Blaschke curvature of the dimension two, which vanishes iff the web has the maximum possible rank which is one. But, contrary to the dimension two where all 3-webs of rank one are locally isomorphic, we prove that there are infinitely many classes of isomorphism for germs of 4-webs by curves of rank one in the dimension three: we provide a procedure for building all of them, and give examples of invariants of these classes allowing in particular to distinguish the so-called quadrilateral webs among them.

Reçu le : 2023-01-15
Révisé le : 2023-03-25
Accepté le : 2023-03-28
Publié le : 2023-11-10

DOI : 10.5802/crmath.500

Classification : 53A60
Mots-clés : tissus en courbes, courbure, rang

Affiliations des auteurs :

Jean-Paul Dufour ^{1, 2} ; Daniel Lehmann ^{1, 3}

¹ ancien professeur à l’Université de Montpellier II
² 1 rue du Portalet 34820 Teyran, France
³ 4 rue Becagrun 30980 Saint Dionisy, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{CRMATH_2023__361_G9_1491_0,
     author = {Jean-Paul Dufour and Daniel Lehmann},
     title = {\'Etude des $(n+1)$-tissus de courbes en dimension $n$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1491--1497},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {361},
     year = {2023},
     doi = {10.5802/crmath.500},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Jean-Paul Dufour
AU  - Daniel Lehmann
TI  - Étude des $(n+1)$-tissus de courbes en dimension $n$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2023
SP  - 1491
EP  - 1497
VL  - 361
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crmath.500
LA  - fr
ID  - CRMATH_2023__361_G9_1491_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Jean-Paul Dufour
%A Daniel Lehmann
%T Étude des $(n+1)$-tissus de courbes en dimension $n$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2023
%P 1491-1497
%V 361
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crmath.500
%G fr
%F CRMATH_2023__361_G9_1491_0

Jean-Paul Dufour; Daniel Lehmann. Étude des $(n+1)$-tissus de courbes en dimension $n$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 1491-1497. doi : 10.5802/crmath.500. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.500/

Bibliographie
Cité par

[1] Wilhelm Blaschke Über Gewebe von Kurven im $R_{3}$ , Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., Volume 9 (1933), pp. 291-298 | DOI | Zbl

[2] Gerrit Bol Über ein bemerkenswertes Fünfgewebe in der Ebene, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., Volume 11 (1933), pp. 387-393

[3] David Damiano Webs, abelian equations and characteristic classes, Ph. D. Thesis, Brown University (1980)

[4] David Damiano Webs and characteristic forms of Grassmann manifolds, Am. J. Math., Volume 105 (1983), pp. 1325-1345 | DOI | MR | Zbl

[5] Jean-Paul Dufour; Daniel Lehmann Etude des $(n + 1)$ -tissus de courbes en dimension $n$ (2022) | arXiv

[6] Israel M. Gelfand; Robert D. MacPherson Geometry in Grassmannians and a generalization of the dilogarithm, Adv. Math., Volume 44 (1982), pp. 279-312 | DOI | MR | Zbl

[7] Alain Hénaut On planar web geometry through abelian relations and connections, Ann. Math., Volume 159 (2004) no. 1, pp. 425-445 | DOI | MR | Zbl

[8] Luc Pirio On the $(n + 3)$ -webs by rational curves induced by the forgetful maps on the moduli spaces $ℳ_{0, n + 3}$ (2022) | arXiv

Cité par Sources :

Commentaires - Politique