A simplified counterexample to the integral representation of the relaxation of double integrals

Andrea Braides

doi:10.5802/crmath.558

Article de recherche - Équations aux dérivées partielles

A simplified counterexample to the integral representation of the relaxation of double integrals
[Un contre-exemple simplifié à la représentation intégrale de la relaxation des intégrales doubles]

Andrea Braides ¹

¹ SISSA, via Bonomea 265, Trieste, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 487-491.

Résumé
Abstract

Nous montrons que l’enveloppe semi-continue inférieure d’une intégrale double non convexe peut ne pas admettre de représentation sous forme d’intégrale double. En prenant un intégrande avec une valeur infinie sauf en trois points (disons -1, 0 et 1), nous donnons une preuve simple et une formule explicite pour la relaxation qui, espérons-le, pourra éclairer ce type de problèmes. Ceci est une version simplifiée des exemples de Mora-Corral et Tellini, et de Kreisbeck et Zappale, qui caractérisent l’enveloppe semi-continue inférieure via les mesures de Young.

We show that the lower-semicontinuous envelope of a non-convex double integral may not admit a representation as a double integral. By taking an integrand with value $+ \infty$ except at three points (say $- 1$ , $0$ and $1$ ) we give a simple proof and an explicit formula for the relaxation that hopefully may shed some light on this type of problems. This is a simplified version of examples by Mora-Corral and Tellini, and Kreisbeck and Zappale, who characterize the lower-semicontinuous envelope via Young measures.

Reçu le : 2023-05-11
Accepté le : 2023-08-30
Publié le : 2024-05-31

DOI : 10.5802/crmath.558

Affiliations des auteurs :

Andrea Braides ¹

¹ SISSA, via Bonomea 265, Trieste, Italy

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Andrea Braides. A simplified counterexample to the integral representation of the relaxation of double integrals. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 487-491. doi : 10.5802/crmath.558. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.558/

Bibliographie
Cité par

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