On the factorised subgroups of products of cyclic and non-cyclic finite $p$-groups

Brendan McCann

doi:10.5802/crmath.565

Article de recherche - Théorie des groupes

On the factorised subgroups of products of cyclic and non-cyclic finite

p

-groups
[Sur les sous-groupes factorisés des produits de

p

-groupes finis cycliques et non cycliques]

Brendan McCann ¹

¹ Department of Computing and Mathematics, South-East Technological University Waterford, Cork Road, Waterford, Ireland

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 293-300.

Résumé
Abstract

Soient $p$ un nombre premier impair et $G = A B$ un $p$ -groupe fini qui est le produit des sous-groupes $A$ et $B$ , tels que $A$ soit un sous-groupe cyclique et $B$ soit un sous-groupe non cyclique. Supposons également que la classe de nilpotence de $B$ soit inférieure à $\frac{p}{2}$ . On note $℧_{i} (B)$ le sous-groupe de $B$ engendré par les puissances $p^{i}$ des éléments de $B$ , alors $℧_{i} (B) = 〈 b^{p^{i}} ∣ b \in B 〉$ . Dans cet article nous montrons que, pour chaque valeur du nombre $i$ , l’ensemble $A ℧_{i} (B)$ est sous-groupe du groupe $G$ . Nous présentons également quelques applications de ce résultat.

Let $p$ be an odd prime and let $G = A B$ be a finite $p$ -group that is the product of a cyclic subgroup $A$ and a non-cyclic subgroup $B$ . Suppose in addition that the nilpotency class of $B$ is less than $\frac{p}{2}$ . We denote by $℧_{i} (B)$ the subgroup of $B$ generated by the $p^{i}$ -th powers of elements of $B$ , that is $℧_{i} (B) = 〈 b^{p^{i}} ∣ b \in B 〉$ . In this article we show that, for all values of $i$ , the set $A ℧_{i} (B)$ is a subgroup of $G$ . We also present some applications of this result.

Reçu le : 2023-06-22
Révisé le : 2023-09-04
Accepté le : 2023-09-05
Publié le : 2024-05-02

DOI : 10.5802/crmath.565

Classification : 20D40, 20D15
Keywords: factorised groups, products of groups, finite $p$-groups
Mot clés : groupes factorisés, produit de groupes, $p$-groupes finis

Affiliations des auteurs :

Brendan McCann ¹

¹ Department of Computing and Mathematics, South-East Technological University Waterford, Cork Road, Waterford, Ireland

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Bibliographie
Cité par

[1] Bernhard Amberg; Silvana Franciosi; Francesco de Giovanni Products of Groups, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, 1992 | Zbl

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[3] Bertram Huppert Über das Produkt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen, Math. Z., Volume 58 (1953), pp. 243-264 | DOI

[4] Bertram Huppert Endliche Gruppen I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 134, Springer, 1967 | DOI

[5] Brendan McCann On products of cyclic and non-abelian finite $p$ -groups, Adv. Group Theory Appl., Volume 9 (2020), pp. 5-37 | MR

[6] Marta Morigi A Note on Factorized (Finite) $p$ -Groups, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, Volume 98 (1997), pp. 101-105 | Numdam | MR

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