Groupes de Brauer algébriques modulo les constantes d’espaces homogènes et leurs compactifications

Nguyen Manh Linh

doi:10.5802/crmath.587

Article de recherche - Géométrie algébrique, Théorie des nombres

Groupes de Brauer algébriques modulo les constantes d’espaces homogènes et leurs compactifications

Nguyen Manh Linh ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Bâtiment 307, rue Michel Magat, Faculté des Sciences d’Orsay, Université Paris-Saclay, F-91405 Orsay Cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 693-700.

Résumé
Abstract

Soit $X$ une variété lisse, géométriquement intègre, sans fonctions inversibles non constantes sur un corps $K$ . Alors le quotient du groupe Brauer « algébrique » de $X$ par $Br K$ s’injecte dans $H^{1} (K, Pic \bar{X})$ . Nous montrons que cette inclusion n’est pas toujours un isomorphisme même dans le cas où $X$ est un espace homogène d’un groupe algébrique linéaire connexe sur $K$ . Un résultat similaire pour les compactifications lisses de $X$ est aussi donné.

Let $X$ be a smooth, geometrically integral variety without non-constant invertible functions over a field $K$ . Then the quotient of the “algebraic” Brauer group of $X$ by $Br K$ injects into $H^{1} (K, Pic \bar{X})$ . We show that this inclusion is not always an isomorphism, even in the case where $X$ is a homogeneous space of a connected linear algebraic group over $K$ . A similar result for the smooth compactifications of $X$ is also given.

Reçu le : 2022-04-22
Révisé le : 2023-03-07
Accepté le : 2023-11-10
Publié le : 2024-07-09

DOI : 10.5802/crmath.587

Classification : 14F22

Affiliations des auteurs :

Nguyen Manh Linh ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Bâtiment 307, rue Michel Magat, Faculté des Sciences d’Orsay, Université Paris-Saclay, F-91405 Orsay Cedex, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Nguyen Manh Linh. Groupes de Brauer algébriques modulo les constantes d’espaces homogènes et leurs compactifications. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 693-700. doi : 10.5802/crmath.587. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.587/

Bibliographie
Cité par

[1] Mikhail V. Borovoi; Cyril Demarche; David Harari Complexes de groupes de type multiplicatif et groupe de Brauer non ramifié des espaces homogènes, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 46 (2013) no. 4, pp. 651-692 | DOI | Numdam | Zbl

[2] Mikhail V. Borovoi; Boris Kunyavskii On the Hasse principle for homogeneous spaces with finite stabilizers, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 6 (1997) no. 3, pp. 481-497 | DOI | Numdam | Zbl

[3] Mikhail V. Borovoi; Joost van Hamel Extended equivariant Picard complexes and homogeneous spaces, Transform. Groups, Volume 17 (2012), pp. 51-86 | DOI | Zbl

[4] Cyril Demarche; Giancarlo Lucchini Arteche Le principe de Hasse pour les espaces homogènes : réduction au cas des stabilisateurs finis, Compos. Math., Volume 158 (2019) no. 8, pp. 1568-1593 | DOI | Zbl

[5] Cyril Demarche; Giancarlo Lucchini Arteche; Danny Neftin The Grunwald problem and approximation properties for homogeneous spaces, Ann. Inst. Fourier, Volume 67 (2017) no. 3, pp. 1009-1033 | DOI | Numdam | Zbl

[6] Yuval Z. Flicker; Claus Scheiderer; Ramdorai Sujatha Grothendieck’s theorem on non-abelian $H^{2}$ and local-global principles, J. Am. Math. Soc., Volume 11 (1998) no. 3, pp. 731-750 | DOI | Zbl

[7] Jean Giraud Cohomologie non abélienne, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 179, Springer, 1971 | DOI

[8] David Harari Cohomologie galoisienne et théorie du corps de classes, Savoirs actuels, EDP Sciences, 2017

[9] David Harari Méthode des fibrations et obstruction de Manin, Duke Math. J., Volume 75 (1994) no. 1, pp. 221-260 | Zbl

[10] Diego Izquierdo Théorèmes de dualité pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs, Math. Z., Volume 284 (2016) no. 1-2, pp. 615-642 | DOI | Zbl

[11] James S. Milne Arithmetic Duality Theorems, BookSurge, 2006

[12] Jürgen Neukirch; Alexander Schmidt; Kay Wingberg Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Springer, 2008 | DOI

[13] Felipe Rivera-Mesas Bad places for the approximation property for finite groups, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 1, pp. 237-249 | DOI | Numdam | Zbl

[14] Maxwell Rosenlicht Some rationality questions on algebraic groups, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 43 (1957), pp. 25-50 | DOI | Zbl

[15] Jean-Pierre Serre Cohomologie Galoisienne : Cinquième édition, révisée et complétée, Lecture Notes in Mathematics, 5, Springer, 1994 | DOI

[16] Alexei N. Skorobogatov Torsors and Rational Points, Cambridge Tracts in Mathematics, 144, Cambridge University Press, 2001 | DOI

[17] Vladimir A. Voevodsky On motivic cohomology with $Z / l$ -coefficients, Ann. Math., Volume 174 (2011) no. 1, pp. 401-438 | DOI | Zbl

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