Relations algébriques entre valeurs de $E$-fonctions ou de $M$-fonctions

Boris Adamczewski; Colin Faverjon

doi:10.5802/crmath.634

Article de recherche - Théorie des nombres

Relations algébriques entre valeurs de

E

-fonctions ou de

M

-fonctions

Boris Adamczewski ¹ ; Colin Faverjon ¹

¹ Univ Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan, F-69622 Villeurbanne Cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1215-1241.

Résumé
Abstract

Nous montrons que toutes les relations algébriques sur $\bar{ℚ}$ entre les valeurs prises par des $E$ -fonctions de Siegel en un point algébrique non nul sont d’origine fonctionnelle, en ce sens qu’elles s’obtiennent par dégénérescence de relations algébro-différentielles sur $\bar{ℚ} (z)$ entre les fonctions considérées. Nous obtenons un résultat analogue pour les $M_{q}$ -fonctions de Mahler, dans lequel les relations dites $σ_{q}$ -algébriques se substituent aux relations algébro-différentielles. Nous donnons également plusieurs conséquences de ce résultat, notamment concernant certains phénomènes de descente. Le point de vue adopté révèle des similitudes frappantes entre la théorie des $E$ -fonctions et celle des $M_{q}$ -fonctions.

We show that all algebraic relations over $\bar{ℚ}$ between the values of Siegel $E$ -functions at non-zero algebraic points have a functional origin, in the sense that they can be obtained by degeneracy of algebro-differential relations over $\bar{ℚ} (z)$ between the functions under consideration. We obtain a similar result for the Mahler $M_{q}$ -functions, in which the algebro-differential relations are replaced by the $σ_{q}$ -algebraic relations. We also give several consequences of this result, in particular with respect to certain descent phenomena. The point of view adopted reveals striking similarities between the theory of $E$ -functions and that of $M_{q}$ -functions.

Reçu le : 2023-06-16
Révisé le : 2024-02-25
Accepté le : 2024-03-25
Publié le : 2024-11-05

DOI : 10.5802/crmath.634

Classification : 11J81, 11J91
Mot clés : Transcendance, indépendance algébrique, $E$-fonctions de Siegel, $M$-fonctions de Mahler
Keywords: Transcendence, algebraic independence, Siegel $E$-functions, Mahler $M$-functions

Affiliations des auteurs :

Boris Adamczewski ¹ ; Colin Faverjon ¹

¹ Univ Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan, F-69622 Villeurbanne Cedex, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
AU  - Boris Adamczewski
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Boris Adamczewski; Colin Faverjon. Relations algébriques entre valeurs de $E$-fonctions ou de $M$-fonctions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1215-1241. doi : 10.5802/crmath.634. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.634/

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