Intersection of parabolic subgroups in Euclidean braid groups: a short proof

María Cumplido; Federica Gavazzi; Luis Paris

doi:10.5802/crmath.656

Article de recherche - Théorie des groupes

Intersection of parabolic subgroups in Euclidean braid groups: a short proof
[Intersection de sous-groupes paraboliques dans les groupes de tresses euclidiens : une démonstration courte]

María Cumplido ¹ ; Federica Gavazzi ² ; Luis Paris ²

¹ Departamento de Álgebra, Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla, Calle Tarfia s/n 41012, Seville, Spain
² IMB, UMR5584, CNRS, Université de Bourgogne, 21000 Dijon, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1445-1448.

Résumé
Abstract

Nous donnons une démonstration courte du fait, déjà démontré par Thomas Haettel, que l’intersection arbitraire de sous-groupes paraboliques dans les groupes de tresses euclidiens $A [{\tilde{A}}_{n}]$ est à nouveau un sous-groupe parabolique. À cette fin, nous utilisons le fait que le groupe d’Artin de type sphérique $A [B_{n + 1}]$ est isomorphe à $A [{\tilde{A}}_{n}] ⋊ ℤ$ .

We give a short proof for the fact, already proven by Thomas Haettel, that the arbitrary intersection of parabolic subgroups in Euclidean Braid groups $A [{\tilde{A}}_{n}]$ is again a parabolic subgroup. To that end, we use that the spherical-type Artin group $A [B_{n + 1}]$ is isomorphic to $A [{\tilde{A}}_{n}] ⋊ ℤ$ .

Reçu le : 2024-01-24
Révisé le : 2024-05-23
Accepté le : 2024-06-03
Publié le : 2024-11-14

DOI : 10.5802/crmath.656

Classification : 20F36
Keywords: Group theory, Artin groups, Euclidean braid groups, parabolic subgroups, group isomorphism
Mot clés : Théorie des groupes, groupes d’Artin, groupes de tresses euclidiens, sous-groupes paraboliques, isomorphisme de groupes

Affiliations des auteurs :

María Cumplido ¹ ; Federica Gavazzi ² ; Luis Paris ²

¹ Departamento de Álgebra, Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla, Calle Tarfia s/n 41012, Seville, Spain
² IMB, UMR5584, CNRS, Université de Bourgogne, 21000 Dijon, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{CRMATH_2024__362_G11_1445_0,
     author = {Mar{\'\i}a Cumplido and Federica Gavazzi and Luis Paris},
     title = {Intersection of parabolic subgroups in {Euclidean} braid groups: a short proof},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1445--1448},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {362},
     year = {2024},
     doi = {10.5802/crmath.656},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - María Cumplido
AU  - Federica Gavazzi
AU  - Luis Paris
TI  - Intersection of parabolic subgroups in Euclidean braid groups: a short proof
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2024
SP  - 1445
EP  - 1448
VL  - 362
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crmath.656
LA  - en
ID  - CRMATH_2024__362_G11_1445_0
ER  -

%0 Journal Article
%A María Cumplido
%A Federica Gavazzi
%A Luis Paris
%T Intersection of parabolic subgroups in Euclidean braid groups: a short proof
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2024
%P 1445-1448
%V 362
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crmath.656
%G en
%F CRMATH_2024__362_G11_1445_0

María Cumplido; Federica Gavazzi; Luis Paris. Intersection of parabolic subgroups in Euclidean braid groups: a short proof. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1445-1448. doi : 10.5802/crmath.656. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.656/

Bibliographie
Cité par

[1] Ruth Charney; Michael W. Davis The $K (π, 1)$ -problem for hyperplane complements associated to infinite reflection groups, J. Am. Math. Soc., Volume 8 (1995) no. 3, pp. 597-627 | DOI | MR | Zbl

[2] María Cumplido; Volker Gebhardt; Juan González-Meneses; Bert Wiest On parabolic subgroups of Artin–Tits groups of spherical type, Adv. Math., Volume 352 (2019), pp. 572-610 | DOI | MR | Zbl

[3] María Cumplido; Alexandre Martin; Nicolas Vaskou Parabolic subgroups of large-type Artin groups, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., Volume 174 (2023) no. 2, pp. 393-414 | DOI | MR | Zbl

[4] C. De Concini; M. Salvetti Cohomology of Coxeter groups and Artin groups, Math. Res. Lett., Volume 7 (2000) no. 2-3, pp. 213-232 | DOI | MR | Zbl

[5] Thomas Haettel Lattices, injective metrics and the $K (π, 1)$ conjecture (2021) (to appear in Algebraic & Geometric Topology, https://arxiv.org/abs/2109.07891)

[6] Richard P. Kent; David Peifer A geometric and algebraic description of annular braid groups, Int. J. Algebra Comput., Volume 12 (2002) no. 1-2, pp. 85-97 | DOI | MR | Zbl

[7] Luis Paris $K (π, 1)$ conjecture for Artin groups, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 23 (2014) no. 2, pp. 361-415 | DOI | MR | Zbl

[8] Harm Van der Lek The Homotopy Type of Complex Hyperplane Complements, Ph. D. Thesis, Nijmegen (1983)

Cité par Sources :

Commentaires - Politique