The affine Grassmannian as a presheaf quotient

Kęstutis Česnavičius

doi:10.5802/crmath.736

Article de recherche - Géométrie algébrique

The affine Grassmannian as a presheaf quotient
[La grassmannienne affine comme quotient de préfaisceaux]

Kęstutis Česnavičius ¹

¹ CNRS, Université Paris-Saclay, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, F-91405, Orsay, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 523-532.

Abstract (VO)
Résumé

For a reductive group $G$ over a ring $A$ , its affine Grassmannian ${Gr}_{G}$ plays important roles in a wide range of subjects and is typically defined as the étale sheafification of the presheaf quotient $L G / L^{+} G$ of the loop group $L G$ by its positive loop subgroup $L^{+} G$ . We show that the Zariski sheafification gives the same result. Moreover, for totally isotropic $G$ (for instance, for quasi-split $G$ ), we show that no sheafification is needed at all: ${Gr}_{G}$ is already the presheaf quotient $L G / L^{+} G$ , which seems new already in the classical case of ${GL}_{n}$ over $C$ . For totally isotropic $G$ , we also show that the affine Grassmannian may be formed using polynomial loops. We deduce all of these results from the study of $G$ -torsors on $P_{A}^{1}$ that is ultimately built on the geometry of ${Bun}_{G}$ .

Pour un groupe réductif $G$ sur un anneau $A$ , sa grassmannienne affine ${Gr}_{G}$ joue un rôle important dans un grand nombre de sujets et est typiquement définie comme la faisceautisation étale du quotient de préfaisceaux $L G / L^{+} G$ du groupe de lacets $L G$ par son sous-groupe d’arcs $L^{+} G$ . Nous montrons que la faisceautisation de Zariski donne le même résultat. De plus, pour $G$ totalement isotrope (par exemple, pour $G$ quasi-déployé), nous montrons qu’aucune faisceautisation n’est nécessaire : ${Gr}_{G}$ est déjà le quotient de préfaisceaux $L G / L^{+} G$ , ce qui semble nouveau déjà dans le cas classique d’un $G$ sur $C$ . Pour $G$ totalement isotrope, nous montrons aussi que sa grassmannienne affine peut être formée en utilisant des lacets polynomiaux. Nous déduisons tous ces résultats de l’étude des torseurs de $G$ sur $P_{A}^{1}$ basé sur la géométrie de ${Bun}_{G}$ .

Reçu le : 2024-01-13
Révisé le : 2025-01-02
Accepté le : 2025-02-19
Publié le : 2025-05-26

DOI : 10.5802/crmath.736

Classification : 14L15, 14M17
Keywords: Affine Grassmannian, loop group, reductive group, torsor
Mots-clés : Grassmannienne affine, groupe de lacets, groupe réductif, torseur

Affiliations des auteurs :

Kęstutis Česnavičius ¹

¹ CNRS, Université Paris-Saclay, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, F-91405, Orsay, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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Kęstutis Česnavičius. The affine Grassmannian as a presheaf quotient. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 523-532. doi : 10.5802/crmath.736. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.736/

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