Function spaces on quantum tori

Xiao Xiong; Quanhua Xu; Zhi Yin

doi:10.1016/j.crma.2015.06.002

Functional analysis

Function spaces on quantum tori
[Espaces de fonctions sur les tores quantiques]

Présenté par : Gilles Pisier

Xiao Xiong ¹ ; Quanhua Xu ^1,² ; Zhi Yin ²

¹ Laboratoire de Mathématiques, Université de Franche-Comté, 25030 Besançon cedex, France
² School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 8, pp. 729-734.

Résumé
Abstract

On considère les espaces de Sobolev, Besov et Triebel–Lizorkin sur un tore quantique $T_{θ}^{d}$ de d générateurs. Les principaux résultats comprennent : le plongement de Besov et Sobolev ; des caractérisations à la Littlewood–Paley pour les espaces de Besov et Triebel–Lizorkin ; une formule explicite de la K-fonctionnelle de $(L_{p} (T_{θ}^{d}), W_{p}^{k} (T_{θ}^{d}))$ ; l'indépendance en θ des multiplicateurs de Fourier complètement bornés sur ces espaces.

We study Sobolev, Besov and Triebel–Lizorkin spaces on quantum tori. These spaces share many properties with their classical counterparts. The results announced include: Besov and Sobolev embedding theorems; Littlewood–Paley-type characterizations of Besov and Triebel–Lizorkin spaces; an explicit description of the K-functional of $(L_{p} (T_{θ}^{d}), W_{p}^{k} (T_{θ}^{d}))$ ; descriptions of completely bounded Fourier multipliers on these spaces.

Reçu le : 2015-05-11
Accepté le : 2015-06-03
Publié le : 2015-06-30

DOI : 10.1016/j.crma.2015.06.002

Affiliations des auteurs :

Xiao Xiong ¹ ; Quanhua Xu ^{1, 2} ; Zhi Yin ²

¹ Laboratoire de Mathématiques, Université de Franche-Comté, 25030 Besançon cedex, France
² School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China

@article{CRMATH_2015__353_8_729_0,
     author = {Xiao Xiong and Quanhua Xu and Zhi Yin},
     title = {Function spaces on quantum tori},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {729--734},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {353},
     number = {8},
     year = {2015},
     doi = {10.1016/j.crma.2015.06.002},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Xiao Xiong
AU  - Quanhua Xu
AU  - Zhi Yin
TI  - Function spaces on quantum tori
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2015
SP  - 729
EP  - 734
VL  - 353
IS  - 8
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2015.06.002
LA  - en
ID  - CRMATH_2015__353_8_729_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Xiao Xiong
%A Quanhua Xu
%A Zhi Yin
%T Function spaces on quantum tori
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2015
%P 729-734
%V 353
%N 8
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2015.06.002
%G en
%F CRMATH_2015__353_8_729_0

Xiao Xiong; Quanhua Xu; Zhi Yin. Function spaces on quantum tori. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 8, pp. 729-734. doi : 10.1016/j.crma.2015.06.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.06.002/

Bibliographie
Cité par

[1] J. Bourgain; H. Brézis; P. Mironescu Limiting embedding theorems for $W_{s, p}$ when $s ↑ 1$ and applications, J. Anal. Math., Volume 87 (2002), pp. 37-75

[2] Z. Chen; Q. Xu; Z. Yin Harmonic analysis on quantum tori, Commun. Math. Phys., Volume 322 (2013), pp. 755-805

[3] R.A. DeVore; K. Scherer Interpolation of linear operators on Sobolev spaces, Ann. Math., Volume 109 (1979), pp. 583-599

[4] H. Johnen; K. Scherer On the equivalence of the K-functional and moduli of continuity and some applications, Lect. Notes Math., Volume 571 (1976), pp. 119-140

[5] M. Junge; T. Mei Noncommutative Riesz transforms – a probabilistic approach, Amer. J. Math., Volume 132 (2010), pp. 611-681

[6] V. Maz'ya; T. Shaposhnikova On the Bourgain, Brézis, and Mironescu theorem concerning limiting embeddings of fractional Sobolev spaces, J. Funct. Anal., Volume 195 (2002), pp. 230-238

[7] S. Neuwirth; É. Ricard Transfer of Fourier multipliers into Schur multipliers and sumsets in a discrete group, Can. J. Math., Volume 63 (2011), pp. 1161-1187

[8] G. Pisier Noncommutative vector-valued $L_{p}$ spaces and completely p-summing maps, Astérisque, Volume 247 (1998) (vi+131 pp.)

[9] G. Pisier; Q. Xu Noncommutative $L^{p}$ -spaces (W.B. Johnson; J. Lindenstrauss, eds.), Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 2, North-Holland, Amsterdam, 2003, pp. 1459-1517

[10] M. Spera Sobolev theory for noncommutative tori, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, Volume 86 (1992), pp. 143-156

[11] M. Spera A symplectic approach to Yang–Mills theory for noncommutative tori, Can. J. Math., Volume 44 (1992), pp. 368-387

[12] H. Triebel Theory of Function Spaces, II, Birkhäuser, Basel, 1992

[13] N.T. Varopoulos Hardy–Littlewood theory for semigroups, J. Funct. Anal., Volume 63 (1985), pp. 240-260

[14] N. Weaver Lipschitz algebras and derivations of von Neumann algebras, J. Funct. Anal., Volume 139 (1996), pp. 261-300

[15] N. Weaver α-Lipschitz algebras on the noncommutative torus, J. Oper. Theory, Volume 39 (1998), pp. 123-138

[16] X. Xiong, Q. Xu, Z. Yin, Sobolev, Besov and Triebel–Lizorkin spaces on quantum tori, Preprint, 2015.

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Il n'y a aucun commentaire pour cet article. Soyez le premier à écrire un commentaire !

Publier un nouveau commentaire:

Publier une nouvelle réponse: