Projective bundles and blowing ups

Duo Li

doi:10.5802/crmath.249

Géométrie algébrique

Projective bundles and blowing ups

Duo Li ¹

¹ School of Mathematics(Zhuhai), Sun Yat-sen University, Zhuhai, 519082, Guangdong, China.

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 359 (2021) no. 9, pp. 1129-1133.

Abstract (VO)
Résumé

We study the blowing up $\tilde{X}$ of a smooth projective variety $X$ along a smooth center $B$ that is equipped with a projective bundle structure over a variety $Z$ . If $B$ is a point, then $X$ is a projective space. If the Picard number $ρ (X)$ is $1,$ then $dim Z$ has a lower bound $dim X - dim B - 1 .$ Moreover, when $dim Z$ is $dim X - dim B - 1,$ $X$ is a projective space and $B$ is a linear subspace in $X .$ If $X$ is a projective space $¶_{n}$ and $B$ is a curve, then either $n$ is $3$ and $B$ is a twisted cubic curve or $n$ is an arbitrary integer and $B$ is a line in $¶_{n}$ . If $X$ is a quadric $Q_{n}$ and $B$ is a curve, then $n$ is $3$ and $B$ is a line in $Q_{3}$ .

Nous étudions l’éclatement $\tilde{X}$ d’une variété projective lisse $X$ le long d’un centre lisse $B$ , munie d’une structure de fbré projectif. Si $B$ est un point, $X$ est un espace projectif. Si le nombre de Picard $ρ (X)$ est $1$ , alors $dim Z$ a une borne inférieure $dim X - dim B - 1$ . De plus, lorsque $dim Z$ est $dim X - dim B - 1$ , $X$ est un espace projectif et $B$ est un sous-espace linéaire dans $X$ . Si $X$ est l’espace projectif $¶_{n}$ et B est une courbe, ou $n$ est égale à $3$ et $B$ est une courbe cubique tordue, ou $n$ est un entier arbitraire et $B$ est une ligne droite dans $¶_{n}$ . Si $X$ est une quadrique et $B$ est une courbe, alors $n$ est égale à $3$ et $B$ est une ligne droite dans $Q_{3} .$

Reçu le : 2021-07-16
Accepté le : 2021-07-23
Publié le : 2021-11-03

DOI : 10.5802/crmath.249

Classification : 14J45, 14E30

Affiliations des auteurs :

Duo Li ¹

¹ School of Mathematics(Zhuhai), Sun Yat-sen University, Zhuhai, 519082, Guangdong, China.

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Duo Li. Projective bundles and blowing ups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 359 (2021) no. 9, pp. 1129-1133. doi : 10.5802/crmath.249. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.249/

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