Homogenized model of reaction–diffusion in a porous medium

Leonid Pankratov; Andrey Piatnitskii; Volodymyr Rybalko

doi:10.1016/S1631-0721(03)00060-3

Homogenized model of reaction–diffusion in a porous medium
[Un modèle homogénéisé de réaction–diffusion dans un milieu poreux]

Présenté par : Évariste Sanchez-Palencia

Leonid Pankratov ^1,² ; Andrey Piatnitskii ^3,⁴ ; Volodymyr Rybalko ¹

¹ Département de mathématiques, B.Verkin Institut des Basses Températures (FTINT), 47, av. Lénine, 61103, Kharkov, Ukraine
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, pl. Jussieu 75252 Paris cedex 05, France
³ Narvik University College, HiN, 8505, Narvik, Norway
⁴ Lebedev Physical Institute RAS, 53, Leninski prospect, 117333, Moscow, Russia

Comptes Rendus. Mécanique, Volume 331 (2003) no. 4, pp. 253-258.

Résumé
Abstract

On étudie le problème aux limites pour l'équation de réaction–diffusion

\partial_{t} u^{ϵ} - \nabla \cdot (a^{ϵ} \nabla u^{ϵ}) + g (u^{ϵ}) = h^{ϵ}

dans un ouvert borné

Ω

avec une microstructure périodique

ℱ^{(ϵ)} \cup {\bar{ℳ}}^{(ϵ)}

, où a^ε(x) vaut 1 dans

ℱ^{(ϵ)}

et κ(ε) dans

ℳ^{(ϵ)}

avec κ(ε)→0 quand ε→0. En combinant la méthode de convergence à double échelle et l'homogénéisation variationnelle, on obtient des modèles macroscopiques qui dépendent du paramètre θ=lim_ε→0κ(ε)/ε². Lorsque θ est strictement positif et fini, le problème macroscopique est non local en temps ce qui correspond à l'effet de mémoire.

We study the initial boundary value problem for the reaction–diffusion equation,

\partial_{t} u^{ϵ} - \nabla \cdot (a^{ϵ} \nabla u^{ϵ}) + g (u^{ϵ}) = h^{ϵ}

in a bounded domain

Ω

with periodic microstructure

ℱ^{(ϵ)} \cup {\bar{ℳ}}^{(ϵ)}

, where a^ε(x) is of order 1 in

ℱ^{(ϵ)}

and κ(ε) in

ℳ^{(ϵ)}

with κ(ε)→0 as ε→0. Combining the method of two-scale convergence and the variational homogenization we obtain effective models which depend on the parameter θ=lim_ε→0κ(ε)/ε². In the case of strictly positive finite θ the effective problem is nonlocal in time that corresponds to the memory effect.

Reçu le : 2003-01-24
Accepté le : 2003-02-19
Publié le : 2003-04-01

DOI : 10.1016/S1631-0721(03)00060-3

Keywords: Computational solid mechanics, Reaction–diffusion equation, Homogenised model, Memory effect
Mot clés : Mécanique des solides numérique, Équation de réaction–diffusion, Modèle homogénéisé, Effet de mémoire

Affiliations des auteurs :

Leonid Pankratov ^{1, 2} ; Andrey Piatnitskii ^{3, 4} ; Volodymyr Rybalko ¹

¹ Département de mathématiques, B.Verkin Institut des Basses Températures (FTINT), 47, av. Lénine, 61103, Kharkov, Ukraine
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, pl. Jussieu 75252 Paris cedex 05, France
³ Narvik University College, HiN, 8505, Narvik, Norway
⁴ Lebedev Physical Institute RAS, 53, Leninski prospect, 117333, Moscow, Russia

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JO  - Comptes Rendus. Mécanique
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Leonid Pankratov; Andrey Piatnitskii; Volodymyr Rybalko. Homogenized model of reaction–diffusion in a porous medium. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 331 (2003) no. 4, pp. 253-258. doi : 10.1016/S1631-0721(03)00060-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/S1631-0721(03)00060-3/

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