Comptes Rendus
no. 4
Homogenized model of reaction–diffusion in a porous medium
[Un modèle homogénéisé de réaction–diffusion dans un milieu poreux]

Présenté par : Évariste Sanchez-Palencia

Leonid Pankratov1, 2  ; Andrey Piatnitskii3, 4  ; Volodymyr Rybalko1
1 Département de mathématiques, B.Verkin Institut des Basses Températures (FTINT), 47, av. Lénine, 61103, Kharkov, Ukraine
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, pl. Jussieu 75252 Paris cedex 05, France
3 Narvik University College, HiN, 8505, Narvik, Norway
4 Lebedev Physical Institute RAS, 53, Leninski prospect, 117333, Moscow, Russia
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 331 (2003) no. 4, pp. 253-258.

On étudie le problème aux limites pour l'équation de réaction–diffusion

∂tuϵ-∇·(aϵ∇uϵ)+g(uϵ)=hϵ
dans un ouvert borné Ω avec une microstructure périodique ℱ(ϵ)∪ℳ¯(ϵ), où aε(x) vaut 1 dans ℱ(ϵ) et κ(ε) dans ℳ(ϵ) avec κ(ε)→0 quand ε→0. En combinant la méthode de convergence à double échelle et l'homogénéisation variationnelle, on obtient des modèles macroscopiques qui dépendent du paramètre θ=limε→0κ(ε)/ε2. Lorsque θ est strictement positif et fini, le problème macroscopique est non local en temps ce qui correspond à l'effet de mémoire.

We study the initial boundary value problem for the reaction–diffusion equation,

∂tuϵ-∇·(aϵ∇uϵ)+g(uϵ)=hϵ
in a bounded domain Ω with periodic microstructure ℱ(ϵ)∪ℳ¯(ϵ), where aε(x) is of order 1 in ℱ(ϵ) and κ(ε) in ℳ(ϵ) with κ(ε)→0 as ε→0. Combining the method of two-scale convergence and the variational homogenization we obtain effective models which depend on the parameter θ=limε→0κ(ε)/ε2. In the case of strictly positive finite θ the effective problem is nonlocal in time that corresponds to the memory effect.

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DOI : 10.1016/S1631-0721(03)00060-3
Keywords: Computational solid mechanics, Reaction–diffusion equation, Homogenised model, Memory effect
Mot clés : Mécanique des solides numérique, Équation de réaction–diffusion, Modèle homogénéisé, Effet de mémoire
Leonid Pankratov 1, 2 ; Andrey Piatnitskii 3, 4 ; Volodymyr Rybalko 1

1 Département de mathématiques, B.Verkin Institut des Basses Températures (FTINT), 47, av. Lénine, 61103, Kharkov, Ukraine
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, pl. Jussieu 75252 Paris cedex 05, France
3 Narvik University College, HiN, 8505, Narvik, Norway
4 Lebedev Physical Institute RAS, 53, Leninski prospect, 117333, Moscow, Russia 
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Leonid Pankratov; Andrey Piatnitskii; Volodymyr Rybalko. Homogenized model of reaction–diffusion in a porous medium. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 331 (2003) no. 4, pp. 253-258. doi : 10.1016/S1631-0721(03)00060-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/S1631-0721(03)00060-3/

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