[Mise en équations du profil de la Tour Eiffel : rétrospective et nouveautés]
La mise en équation de la forme de la Tour Eiffel est ici étudiée. Un model supposé être basé sur les écrits d'Eiffel abouti à une tour possédant une courbure incorrecte. Il existe également un second model populaire, non déduit des notes d'Eiffel, produisant une bonne approximation du profile de la tour en vingt-neuf panneaux successifs. Ici est présenté un troisième model dérivé des préoccupations d'Eiffel concernant les effets du vent décrits dans sa communication a la Société Française des Ingénieurs Civils datée du 30 mars 1885. Il en résulte une équation non-linéaire intégro-différentielle dont la solution produit un profil de tour de type exponentiel. Il a été par ailleurs vérifié, comme Eiffel l'a noté, « en réalité la courbe extérieure de la tour reproduit, à une échelle déterminée, la courbe même des moments fléchissant dus au vent ». Une analyse du profil actuel de la tour montre qu'il est composé de deux parties continues exponentielles à taux d'accroissement différents. Cela s'explique par des facteurs de sûreté spécifiques, liés à la charge du vent, inclus par Eiffel & Compagnie dans le plans d'une tour auto supportée.
Model equations for the shape of the Eiffel Tower are investigated. One model purported to be based on Eiffel's writing does not give a tower with the correct curvature. A second popular model not connected with Eiffel's writings provides a fair approximation to the tower's skyline profile of 29 contiguous panels. Reported here is a third model derived from Eiffel's concern about wind loads on the tower, as documented in his communication to the French Civil Engineering Society on 30 March 1885. The result is a nonlinear, integro-differential equation which is solved to yield an exponential tower profile. It is further verified that, as Eiffel wrote, “in reality the curve exterior of the tower reproduces, at a determined scale, the same curve of the moments produced by the wind”. An analysis of the actual tower profile shows that it is composed of two piecewise continuous exponentials with different growth rates. This is explained by specific safety factors for wind loading that Eiffel & Company incorporated in the design of the free-standing tower.
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Mots-clés : Solides et structures, Histoire des sciences, Modélisation mathématique, Charge due au vent, Équations intégrales non-linéaires
Patrick Weidman 1 ; Iosif Pinelis 2
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[1] Advanced Engineering Mathematics, Jones and Bartlett, Boston, 2000
[2] http://wwwusers.imaginet.fr/~chouard/equation_eiffel_tower.html (Website)
[3] Towers: A Historical Survey, Rizzoli International, New York, 1989 (p. 216)
[4] A. Deroy, engraving published in Revue Illustrée, July 1 (1888) p. 38
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[6] Towing Icebergs, Falling Dominoes, and Other Adventures in Applied Mathematics, Princeton University Press, Princeton, 1998 (pp. 150–156)
[7] Curso Teórico-Práctico de Ecuaciones Diferenciales, Nuevas Gráficas, Madrid, 1951 (p. 14)
[8] Gustave Eiffel, Rizzoli International, New York, 1985 (p. 211, Translation of Eiffel's Biographie, vol. 2, p. 3)
[9] The Tallest Tower, Houghton Mifflin, Boston, 1975 (p. 25, Translation from Le Temps, 14 February, 1887)
[10] Projet d'une tour en fer de 300 mètres de hauteur destinée à L'Exposition de 1889, Société des Ingénieurs Civils de France, Bulletin, Volume 38 (1885), pp. 345-370 (All quotations from this mémoire are taken from the translation by C. Roland and P.D. Weidman)
[11] H. Loyrette, p. 53, translation of Nouveaux ponts portatifs économiques, système Eiffel [...] Notice sur les différents types des ponts de ce système, Paris, second ed., 1885, p. 56
[12] G. Eiffel, 1885, p. 347
[13] G. Eiffel, 1885, p. 348–349
[14] G. Eiffel, 1885, p. 349
[15] G. Eiffel, 1885, p. 350
[16] G. Eiffel, 1885, p. 363
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