Comptes Rendus
no. 10
Carleman estimates for the one-dimensional heat equation with a discontinuous coefficient, and applications
[Inégalité de Carleman pour une équation de la chaleur à coefficient discontinu et applications]

Présenté par : Évariste Sanchez-Palencia

Assia Benabdallah1 ; Yves Dermenjian1  ; Jérôme Le Rousseau1
1 Laboratoire d'Analyse Topologie Probabilités, CNRS UMR 6632, université d'Aix-Marseille I, 39, rue F. Joliot-Curie, 13453 Marseille, France
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 334 (2006) no. 10, pp. 582-586.

On étudie l'observabilité et certaines de ses conséquences pour une équation de la chaleur à coefficient discontinu (C1 par morceaux). L'observabilité, pour une équation linéaire, est obtenue au moyen d'inégalités de Carleman. Ce type d'inégalités d'observabilité permet d'obtenir des résultats de contrôlabilité aux trajectoires pour des équations semi-linéaires. Elle permet aussi de résoudre un problème inverse d'identification et de stabilité pour le coefficient de diffusion.

We study the observability and some of its consequences for the one-dimensional heat equation with a discontinuous coefficient (piecewise C1). The observability, for a linear equation, is obtained by a Carleman-type estimate. This kind of observability inequality yields results of controllability to the trajectories for semilinear equations. It also yields a stability result for the inverse problem of the identification of the diffusion coefficient.

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DOI : 10.1016/j.crme.2006.07.001
Keywords: Control, Carleman estimate, Non-smooth coefficients, Parabolic equations, Inverse problem
Mot clés : Contrôle, Inégalité de Carleman, Coefficients non réguliers, Équations paraboliques, Problème inverse
Assia Benabdallah 1 ; Yves Dermenjian 1 ; Jérôme Le Rousseau 1

1 Laboratoire d'Analyse Topologie Probabilités, CNRS UMR 6632, université d'Aix-Marseille I, 39, rue F. Joliot-Curie, 13453 Marseille, France 
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Assia Benabdallah; Yves Dermenjian; Jérôme Le Rousseau. Carleman estimates for the one-dimensional heat equation with a discontinuous coefficient, and applications. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 334 (2006) no. 10, pp. 582-586. doi : 10.1016/j.crme.2006.07.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2006.07.001/

[1] A. Doubova; A. Osses; J.-P. Puel Exact controllability to trajectories for semilinear heat equations with discontinuous diffusion coefficients, ESAIM: COCV, Volume 8 (2002), pp. 621-661

[2] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte perturbations et stabilisation de systèmes distribués, vol. 1, Masson, Paris, 1988

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[4] D.L. Russel A unified boundary controllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations, Stud. Appl. Math., Volume 52 (1973), pp. 189-221

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[8] A. Benabdallah; P. Gaitan; J. Le Rousseau An inverse problem for the heat equation with discontinuous diffusion coefficients, 2005 http://www.cmi.univ-mrs.fr/~jlerous/publications.html (Preprint: LATP, Universités de Marseille)

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