Comptes Rendus
no. 7
An example of a quasi-trapped mode in a weakly non-linear elastic waveguide
[Un exemple de mode quasi-piégé dans un guide d'ondes élastique faiblement non linéaire]

Présenté par : Évariste Sanchez-Palencia

Julius Kaplunov1  ; Evgeniya Nolde1
1 Department of Mathematical Sciences, Brunel University, Uxbridge UB8 3PH, UK
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 336 (2008) no. 7, pp. 553-558.

Cette note généralise un exemple simple de mode piégé dans un guide d'ondes élastique linéaire, suggéré précédemment. Une corde semi-infinie terminée par une masse ponctuelle est considérée en présence d'un support faiblement non linéaire. Les effets non linéaires entraînent des composantes de petites amplitudes non localisées, qui conduisent à une décroissance lente de l'amplitude de vibration au cours du temps. Le taux de décroissance temporelle ainsi que la correction de phase sont évalués à partir de la méthode des échelles multiples.

This note generalizes an earlier suggested simple example of a trapped mode in a linearly elastic waveguide. A semi-infinite string with a point end mass is considered in the presence of a weakly non-linear support. The effect of non-linearity involves small amplitude non-localized disturbances resulting in a slow time-decay of the vibration amplitude. The rate of the decay is evaluated along with the correction to the vibration phase using the method of multiple scales.

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DOI : 10.1016/j.crme.2008.04.005
Keywords: Dynamical systems, Trapped mode, Weak non-linearity, Multiple scale, Elasticity
Mot clés : Systèmes dynamiques, Mode piégé, Faible non linéarité, Echelle multiple, Elasticité
Julius Kaplunov 1 ; Evgeniya Nolde 1

1 Department of Mathematical Sciences, Brunel University, Uxbridge UB8 3PH, UK 
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[1] J.D. Kaplunov; S.V. Sorokin A simple example of a trapped mode in an unbounded waveguide, JASA, Volume 97 (1995), pp. 3898-3899

[2] J.D. Kaplunov; G.A. Rogerson; P.E. Tovstik Localized vibration in elastic structures with slowly varying thickness, Q. J. Mech. Appl. Math., Volume 58 (2005), pp. 645-664

[3] D. Gridin; A.T.I. Adamou; R.V. Craster Trapped modes in bent elastic rods, Wave Motion, Volume 42 (2005), pp. 352-366

[4] C. Förster; T. Weidl Trapped modes for an elastic strip with perturbation of the material properties, Q. J. Mech. Appl. Math., Volume 59 (2006), pp. 399-418

[5] J. Postnova; R.V. Craster Trapped modes in topolographically varying elastic waveguides, Wave Motion, Volume 44 (2007), pp. 205-221

[6] R. Porter Trapped waves in thin elastic plates, Wave Motion, Volume 45 (2007), pp. 3-15

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[8] A.H. Nayfeh Perturbation Methods, John Wiley & Sons, New York, 1973

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