La transformation de Helmholtz–Kirchhoff offre une approche nouvelle pour la résolution du problème de Hele–Shaw. En particulier, le modèle du quasi-contour qui en découle permet une résolution numérique du problème. Faisant suite à un précédent article [1], nous proposons ici une amélioration significative du schéma numérique du modèle du quasi-contour, qui mène à la résolution dʼun problème de Cauchy. Le calcul fastidieux dʼune intégrale de surface (absente du modèle physique) a été remplacé par celui dʼintégrales simples le long du contour du fluide. Nous testons ensuite le schéma obtenu sur le problème de Stokes–Leibenson dans une géométrie en coin, mettant en évidence le gain de précision des résultats. Par ailleurs, lʼexistence de la variété critique dans lʼespace des quasi-contours est confirmée (voir [1]).
The Helmholtz–Kirchhoff transformation gives us a new approach to solve the Hele–Shaw problem. Particularly, we derived a so-called quasi-contour method from which we built a numerical scheme. Following a previous article [1], we propose a way to improve significantly the numerical scheme, which leads to the resolution of a Cauchy problem. The tedious calculation of a surface integral (absent in the physical problem) was replaced with simple integrals along the contour of the fluid. We have then tested the new numerical scheme on the Stokes–Leibenson problem in a corner geometry, highlighting the gain in accuracy of the results. Besides, the existence of a critical manifold in the space of contours is confirmed (see [1]).
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Keywords: Hele–Shaw flows, Helmholtz–Kirchhoff method, Quasi-contour model, Stokes–Leibenson problem
Alexandre Demidov 1 ; Jean-Pierre Lohéac 2 ; Vincent Runge 1, 2
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Alexandre Demidov; Jean-Pierre Lohéac; Vincent Runge. Problème de Cauchy pour lʼapproximation de Stokes–Leibenson dʼune cellule de Hele–Shaw en coin. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 341 (2013) no. 11-12, pp. 755-759. doi : 10.1016/j.crme.2013.09.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2013.09.001/
[1] Attractors–repellers in the space of contours in the Stokes–Leibenson problem for Hele–Shaw flows, J. Math. Sci., Volume 189 (2013) no. 4, pp. 568-581
[2] Numerical scheme for Laplacian growth models based on the Helmholtz–Kirchhoff method (B. Gustafsson; A. Vasilʼev, eds.), Analysis and Mathematical Physics, Trends in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2009, pp. 107-114
[3] Unsteady filtration with a free surface, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 47 (1945), pp. 250-253
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