A Riemannian approach to strain measures in nonlinear elasticity

Patrizio Neff; Bernhard Eidel; Frank Osterbrink; Robert Martin

doi:10.1016/j.crme.2013.12.005

A Riemannian approach to strain measures in nonlinear elasticity
[Une approche riemannienne vers des mesures des deformation en élasticité non linéaire]

Patrizio Neff ¹ ; Bernhard Eidel ² ; Frank Osterbrink ¹ ; Robert Martin ¹

¹ Chair for Nonlinear Analysis and Modelling, University of Duisburg-Essen, Thea-Leymann-Str. 9, 45127 Essen, Germany
² Institute of Mechanics, University of Duisburg-Essen, Universitätsstraße 15, 45141 Essen, Germany

Comptes Rendus. Mécanique, Volume 342 (2014) no. 4, pp. 254-257.

Résumé
Abstract

L'énergie isotrope de Hencky est une mesure naturelle de la distance du gradient de déformation à l'ensemble des rotations rigides $SO (n)$ dans la métrique riemanienne canonique du groupe linéaire $GL (n)$ . Le principe d'indifférence matérielle exige que la métrique soit $GL (n)$ -invariante à gauche, et l'isotropie implique son invariance à droite par $O (n)$ . Ces deux conditions sont uniquement satisfaites par une famille à trois paramètres de métriques riemaniennes sur l'espace tangent à $GL (n)$ . On note cependant que le résultat final se révèle, en essence, indépendant des paramètres choisis. Pour obtenir ce résultat, on effectue une paramétrisation des géodésiques de $GL (n)$ et l'on résout un problème de minimisation qui fait intervenir le logarithme de matrices non symétriques.

The isotropic Hencky strain energy appears naturally as a distance measure of the deformation gradient to the set $SO (n)$ of rigid rotations in the canonical left-invariant Riemannian metric on the general linear group $GL (n)$ . Objectivity requires the Riemannian metric to be left- $GL (n)$ -invariant, isotropy requires the Riemannian metric to be right- $O (n)$ -invariant. The latter two conditions are only satisfied for a three-parameter family of Riemannian metrics on the tangent space of $GL (n)$ . Surprisingly, the final result is basically independent of the chosen parameters.

In deriving the result, geodesics on $GL (n)$ have to be parameterized and a novel minimization problem, involving the matrix logarithm for non-symmetric arguments, has to be solved.

Reçu le : 2013-05-10
Accepté le : 2013-12-16
Publié le : 2014-02-28

DOI : 10.1016/j.crme.2013.12.005

Keywords: Nonlinear elasticity, Geodesic distance, Hencky strain, Polar decomposition
Mots-clés : Élasticité non linéaire, Distance géodésique, Déformation de Hencky, Décomposition polaire

Affiliations des auteurs :

Patrizio Neff ¹ ; Bernhard Eidel ² ; Frank Osterbrink ¹ ; Robert Martin ¹

¹ Chair for Nonlinear Analysis and Modelling, University of Duisburg-Essen, Thea-Leymann-Str. 9, 45127 Essen, Germany
² Institute of Mechanics, University of Duisburg-Essen, Universitätsstraße 15, 45141 Essen, Germany

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Patrizio Neff; Bernhard Eidel; Frank Osterbrink; Robert Martin. A Riemannian approach to strain measures in nonlinear elasticity. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 342 (2014) no. 4, pp. 254-257. doi : 10.1016/j.crme.2013.12.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2013.12.005/

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