[Température de transition Bose–Einstein pour un gaz dilué et répulsif]
Nous discutons un certain nombre de spécificités du calcul de la température critique d'un gaz de Bose dilué dont les particules interagissent de façon répulsive. Les interactions modifient la température critique de deux façons différentes. En premier lieu, pour un gaz dans un piège, il existe un déplacement de température qui a pour origine un changement du profil de densité, lui même induit par une modification de l'équation d'état du gaz (la compressibilité est réduite par les interactions) ; ce déplacement peut être évalué dans le cadre d'une théorie de champ moyen. En second lieu, et même en l'absence d'un potentiel de piégeage (pour un gaz homogène dans une boite), des déplacements de température sont également introduits par les interactions, mais avec une origine physique totalement différente : les corrélations introduites par les interactions. Le calcul de ce second effet se situe par essence au delà de la théorie du champ moyen et nécessite l'utilisation de méthodes non-perturbatives plus élaborées. Une illustration de son caractère non-perturbatif est donnée par la solution d'équations non-linéaires autocohérentes, qui relient entre elles des expressions des déplacements énergétiques des niveaux k et les populations de ces niveaux. Ces équations prédisent que l'effet des interactions sur la température critique (à densité constante) est une augmentation de cette température, d'une quantité qui est positive et simplement proportionnelle à la longueur de diffusion a ; le coefficient de cette dépendance linéaire est cependant difficile à calculer. Physiquement, cette augmentation de la température critique peut être interprétée comme provenant de la réduction des fluctuations de densité sous l'effet des interactions répulsives ; ceci facilite la propagation des grands cycles d'échange entre les bosons identiques à l'intérieur du gaz, et donc l'apparition d'un cycle d'échange macroscopique correspondant à la condensation.
We discuss certain specific features of the calculation of the critical temperature of a dilute repulsive Bose gas. Interactions modify the critical temperature in two different ways. First, for gases in traps, temperature shifts are introduced by a change of the density profile, arising itself from a modification of the equation of state of the gas (reduced compressibility); these shifts can be calculated simply within mean field theory. Second, even in the absence of a trapping potential (homogeneous gas in a box), temperature shifts are introduced by the interactions; they arise from the correlations introduced in the gas, and thus lie inherently beyond mean field theory – in fact, their evaluation requires more elaborate, non-perturbative, calculations. One illustration of this non-perturbative character is provided by the solution of self-consistent equations, which relate together non-linearly the various energy shifts of the single particle levels k. These equations predict that repulsive interactions shift the critical temperature (at constant density) by an amount which is positive, and simply proportional to the scattering length a; nevertheless, the numerical coefficient is difficult to compute. Physically, the increase of the temperature can be interpreted in terms of the reduced density fluctuations introduced by the repulsive interactions, which facilitate the propagation of large exchange cycles across the sample.
Mot clés : Gaz de Bose dilué, Théorie de champ moyen, Méthodes non-perturbatives
Markus Holzmann 1 ; Jean-Noël Fuchs 2 ; Gordon A. Baym 3 ; Jean-Paul Blaizot 4 ; Franck Laloë 2
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