[Décroissance de non-équilibre de la diffusion thermique dans un potentiel périodique incliné]
Nous examinons le phénomène de décroissance asymptotique vers l'état stationnaire de non-équilibre pour la diffusion thermique dans un potentiel périodique incliné en présence d'une force externe constante. La dépendance paramétrique du taux de décroissance est mise en évidence en examinant l'équation de Fokker–Planck (FP) dans le cas de basse température sous des conditions aux bords périodiques spatiallement (CBP). Nous appliquons la méthode WKB à l'équation de Schrödinger associée. Alors que les valeurs propres de l'opérateur de FP non-hermitien sont en général complexes, les parties imaginaires des valeurs propres sont presque nulles dans le cas d'une petite inclinaison accompagnée par des minima locaux. L'équation de Schrödinger est alors résolue avec les CBP. Le taux de décroissance est analysé dans le contexte de l'effet tunnel quantique à travers un potentiel périodique effectif avec trois puits. Dans le cas d'une grande inclinaison, les parties imaginaires des valeurs propres de l'opérateur de FP sont cruciales. Nous appliquons la méthode WKB sur les complexes à l'équation de Schrödinger avec des conditions aux bords absorbants. Nous trouvons que le taux de décroissance sature et dépend seulement de la température, de la période du potentiel et du coefficient d'amortissement, respectivement. Le cas d'une inclinaison intermédiaire est aussi exploré. Les résultats analytiques sont en bon accord avec les données numériques sur un large domaine d'inclinaison. Finalement, dans le cas où le potentiel inclut une composante de Fourier d'ordre supérieur, nous mettons en évidence une relaxation lente qui est comprise comme un phénomène de résonance d'effet tunnel. Dans ce cas, nous obtenons analytiquement le taux de décroissance du type de Kramers.
We investigate asymptotic decay phenomena towards the nonequilibrium steady state of the thermal diffusion in a periodic potential in the presence of a constant external force. The parameter dependence of the decay rate is revealed by investigating the Fokker–Planck (FP) equation in the low temperature case under the spatially periodic boundary condition (PBC). We apply the WKB method to the associated Schrödinger equation. While eigenvalues of the non-Hermitian FP operator are complex in general, in a small tilting case accompanied with local minima, the imaginary parts of the eigenvalues are almost vanishing. Then the Schrödinger equation is solved with PBC. The decay rate is analyzed in the context of quantum tunneling through a triple-well effective periodic potential. In a large tilting case, the imaginary parts of the eigenvalues of the FP operator are crucial. We apply the complex-valued WKB method to the Schrödinger equation with the absorbing boundary condition, finding that the decay rate saturates and depends only on the temperature, the period of the potential and the damping coefficient. The intermediate tilting case is also explored. The analytic results well agree with the numerical data for a wide range of tilting. Finally, in the case that the potential includes a higher Fourier component, we report the slow relaxation, which is taken as the resonance tunneling. In this case, we analytically obtain the Kramers type decay rate.
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Mot clés : Taux de décroissance, Diffusion thermique, Potentiel périodique incliné, Analyse WKB, Équation de Fokker–Planck, Résonance d'effet tunnel
Takaaki Monnai 1 ; Ayumu Sugita 2 ; Katsuhiro Nakamura 2
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