The tilt measures the angular time variation between the normal to the geoid (plumb line or vertical) and the direction of a reference linked to the ground, with respect to an arbitrary initial state. The theoretical work by Farell [11] and Pagiatakis [16] explains the relation linking a spatial surface load distribution to the induced tilt signal. Assuming a spherical Earth and a linearity of the Earth's response to the applied forcing, Green's function, providing the tilt response, is simply a convolution with the load. The same applies to gravity, variations of the potential and radial displacements. Imagining a sufficiently dense hypothetical network of inclinometers, it should be possible to know the variations in load by deconvolution. As the Green function of tilt behaves in 1/r2 (Fig. 3), one can expect a more or less identical sensitivity of the incline to the different spatial scales of load variation. Moreover, the convolution properties are such that one can show the signal to be dependent on the sole load gradient, which is hydrogeologically significant.

In order to quantify the tilt signal in basic configurations, two computing grid schemes were used: one with a rectangular grid, with finer meshes around the point where the convolution is estimated (this is necessary because of the singularity at the origin of the Green function); the second one with a circular symmetry, whose annular meshes increase in size in r2. These two models were validated by the comparison of their results on simple hydrogeological cases. We chose the second one which produced similar results with a minimum number of cells. Thus, we obtained information on the relationship between inclinometry and hydrogeology. The order of magnitude of the tilt caused by a realistic aquifer (10 cm of water recharge on a 50-km square) is thus in the order of 10⁻⁹ to 10−7rad, which lies within the sensitivity range of modern tiltmeters (Fig. 4). Moreover, as expected, the tilt is particularly sensitive to a discontinuity in the aquifer. Finally, the simulation of the incline for a sinusoidal aquifer of variable wavelength (Fig. 5) confirmed our assumption of an equal sensitivity to all scales of load variation.

This model was applied to data resembling reality, taken from the hydrogeological modelling done by Eric Gomez [12] on the Seine basin aquifer. The circular symmetry model was used to estimate the inclinometer signal along a transverse cross-section of the Seine basin during a hydrological year from August 1990 to July 1991.

The magnitude of the calculated incline was found to be about ±10−8rad, which agrees with the magnitude of the fluctuations generally observed in inclinometer recordings [6]. Furthermore, the results can be interpreted in hydrogeological terms. The transverse projection of the tilt with respect to the mean Seine direction (Fig. 7) is noticeably amplified at the margins of the chalk plateaus north and south of the basin. This is a real-case illustration of the sensitivity of the tilt to hydrogeological discontinuities. The projection of the tilt along the axis of the basin in the Paris region (Fig. 8) shows a general load gradient that increases in the course of the hydrologic year, which is also in agreement with the hydrogeological reality.

Two tiltmeters have been implemented in an ancient mine, in the Vosges. Observed tilt variation and predicted groundwater water induced tilts seems to be correlated and reach about 20 nrad (Fig. 9).

The initial estimates show that inclinometry could become a tool for monitoring groundwater reserves, provided that contributions by Earth tides and atmospheric pressure are removed from the signal (atmospheric pressure effects can be eliminated by formalisms similar to those used for groundwater reserves, while Earth tide contributions are well known). Tests are underway in the Sainte-Marie-aux-Mines valley (Vosges, France) and will soon begin on the karstic plateau of Calern (Alpes-Maritimes, France) in order to evaluate the potential of these new approaches.

Sous l'action d'une variation temporelle de force, par exemple due au poids des eaux souterraines, la Terre va réagir de façon élastique. La surface du sol se déforme, et le champ de pesanteur local est affecté, tant en amplitude qu'en direction, ce qui implique une modification de son équipotentielle origine (cette dernière définissant, comme le niveau moyen des mers, le géoïde instantané). L'inclinaison mesurée par les instruments est alors la différence entre l'inclinaison de la surface physique où se trouve mécaniquement attaché l'instrument (par rapport à son état initial, dans un référentiel assimilé inertiel) et l'inclinaison de la surface équipotentielle – qui est l'horizontale locale à laquelle se rapporte un niveau quasi-hydrostatique [15]. La Fig. 2 illustre ce phénomène dans le cas d'un inclinomètre hydrostatique, avec des échelles grandement exagérées.

La théorie de la déformation quasi-statique de la planète sous l'action d'un champ de force de surcharge est synthétisée dans un article de Farrell [11]. Mais c'est dans Pagiatakis [16] que l'on trouve une réalisation numérique de la fonction de Green, qui permet de calculer, en n'importe quel point, l'angle d'inclinaison résultant de la présence d'une surcharge en surface.

Dans le cas qui nous intéresse ici, celui d'une surcharge hydrologique, on reprend d'assez près le formalisme utilisé habituellement pour le calcul de la surcharge océanique, familier dans les communautés géodésiques ; la principale différence résulte de ce que, sur le continent, on se trouve, pour le calcul des effets de la surcharge océanique, en dehors du domaine où s'exerce la surcharge, ce qui n'est pas le cas pour les aquifères. Dans tous les cas, on ne considère que les variations temporelles des masses excitatrices ou de leurs effets, par rapport à un état initial qui sert de référence (par exemple, pour la surcharge océanique, on ne tient pas compte du poids moyen des océans).

Notons que les équations ont été développées pour une Terre sphérique, constituée de couches homogènes concentriques, avec des paramètres variables du centre vers la surface. Les développements déjà cité de Farell [11] et Pagiatakis [16] adaptent, pour les effets de charge, les développements donnés par Alterman, Jarosch et Pekeris [1]. Dehant et al. [9] ont estimé les incidences de l'ellipticité, de la rotation et même de la convection mantellique, mais leur approche raffinée n'est pas requise pour une première approximation. Enfin, il a été vérifié, tant théoriquement qu'expérimentalement, que, s'agissant de très petites déformations, la réponse de la Terre est extrêmement proche de la linéarité.

Pour des raisons de symétrie, la fonction de Green ne dépend que de la distance angulaire entre la charge et le point du calcul, si bien que le formalisme avec noyau d'opérateur général dégénère en opérateur de convolution. Il est représenté sur la Fig. 3 (et numériquement donné par Pagiatakis [16]). Il peut être noté que, dans le cas d'un demi-espace homogène et isotrope, la fonction de Green se comporte à peu près en en 1/r2 (on parle alors du « problème de Boussinesq » [7]). Ce comportement asymptotique (aussi bien près de l'origine que pour les grandes distances) est grossièrement conservé pour la fonction de Green d'une Terre sphérique, l'écart multiplicatif à ce comportement ne s'écartant pas d'un facteur supérieur à 3, dans la limite des 180° de distance à la charge.

Une propriété notable de ce comportement est sa divergence près de l'origine. Cette divergence disparaît lors de la convolution, puisque l'intégration sur un disque de rayon r et de surface en r2 compense cette divergence. De fait, cette intégration sur un disque de rayon r par la fonction de Green en 1/r2 démontre une forme d'invariance d'échelle : l'inclinaison au voisinage d'un disque uniforme ne dépend pas du rayon de ce disque. Il n'en est pas de même avec les fonctions de Green du déplacement horizontal, vertical ou de la pesanteur, qui, après intégration, sont des fonctions croissantes du rayon pris en considération. Dans le signal inclinométrique, c'est le rapport du déplacement vertical au déplacement horizontal qui est homogène à l'inclinaison. Cette propriété confère une sensibilité de la méthode sensiblement égale pour les charges locales et étendues, ce qui peut être un atout ou un inconvénient, selon que l'une ou l'autre de ces échelles est ou n'est pas modélisable (notamment pour ce qui nous concerne, selon les qualités de la description hydrogéologique à ces différentes échelles).

Cette invariance d'échelle confère un caractère apparemment absurde à la limite inférieure : une particule quasi microscopique de masse surfacique donnée produit, par effet de surcharge, en son voisinage, la même inclinaison qu'un objet étendu (de même masse surfacique). Ce paradoxe physique est levé si l'on considère la dimension intrinsèque d'un inclinomètre : quelques décimètres, pour le support d'un inclinomètre pendulaire, jusqu'à plusieurs centaines de mètres, pour un inclinomètre hydrostatique. L'instrument est intégratif selon sa dimension. De plus, les stations inclinométriques seront avantageusement installées à une certaine distance des causes induisant l'inclinaison, ou bien enfin le phénomène physique lui-même sera de dimension caractéristique bien supérieure à l'instrument.

La modélisation de la réponse à une surcharge surfacique, s'appuie la sur discrétisation de la charge en mailles élémentaires. On peut ainsi écrire que l'inclinaison en un lieu est égale à la somme des inclinaisons créées par chaque point de charge élémentaire. Une telle somme est bien l'intégrale de convolution calculée sur la totalité du domaine. On l'écrit avec des coordonnées géographiques (sphériques) :

Sous une forme condensée, l'intégrale de convolution entre la fonction T et la fonction de charge H donnant l'inclinaison peut s'écrire :

Il existe une fonction T (obtenue en résolvant le système d'équations de la déformation) pour chaque grandeur d'intérêt géodésique : déplacement vertical ou horizontal, variations de l'accélération de la pesanteur, inclinaison. Notons U et W les fonctions qui décrivent respectivement le déplacement vertical U et l'effet sur le potentiel W. L'inclinaison β est alors la différence entre le gradient (la pente) affectant le sol et le gradient (la pente) acquise par le géoïde (toujours par rapport aux surfaces initiales qui constituent la référence). Nous pouvons écrire :

D'après les propriétés de la dérivation d'une convolution, nous pouvons alors écrire :

Pour l'intégration spatiale, il est nécessaire d'adapter les dimensions des mailles à la résolution du modèle d'aquifère et d'être attentif à la gestion de la fonction de Green au voisinage de la masse. En effet, les variations de cette fonction deviennent considérables près de l'origine, nécessitant un raffinement du maillage. De fait, il y a avantage, en tenant compte de l'invariance d'échelle évoquée plus haut, à ce que le rapport de la dimension d'une maille à la distance au point de charge demeure grossièrement constant.

Deux types de maillages ont été testés.

Le premier concerne une zone de 200×200km2, découpée selon une maille carrée de 1 km, l'endroit où est calculée l'inclinaison se trouvant au centre du maillage. Les quatre carrés (de 1 km × 1 km) touchant le point où l'on fait l'estimation sont découpés en mailles de 1 m, afin de raffiner la convolution lorsque la charge hydrologique est à proximité.

Le second est un maillage en cercles concentriques, de rayon égal à exp(kC), où k=1,2,… et C un coefficient fixé à 0,1. Chaque anneau ainsi défini est découpé en secteurs de largeur environ 10% du rayon, pour un total de 63 mailles par anneau. On obtient une distribution de l'espace semblable à une cible de jeu de fléchettes sur une zone qui s'étend d'un peu plus de 12 m à un peu plus de 500 km du point de calcul. L'influence des mailles diminue comme le carré de leur distance au centre, mais elle est compensée par l'augmentation de la surface, afin que chacune contribue à part à peu près égale dans la convolution (toujours par le jeu de l'invariance d'échelle, au facteur 3 (cité plus haut) près).

Un exemple de modèle de surcharge hydrogéologique élémentaire consiste en une couche d'eau d'épaisseur uniforme, répartie sur une surface carrée. Il peut représenter une variation d'un mètre du niveau d'une nappe, contenue dans un aquifère d'une porosité typique de 10% et d'une largeur de 50 km (la charge fait alors 10 cm d'épaisseur équivalente en eau).

Nous calculons le signal inclinométrique associé à cette surcharge le long de profils partant du centre de l'aquifère et passant par le centre d'un côté, sur 50 km de distance (débordant ainsi la limite de la nappe de 25 km). Les deux adaptations de grilles précédemment proposées sont testées.

La comparaison des valeurs calculées fait apparaître des différences inférieures à 1% entre les deux modèles, montrant une bonne indépendance au choix du maillage. Nous choisissons donc de ne plus utiliser que le maillage à symétrie cylindrique, pour lequel le temps de calcul est inférieur et qui s'adapte mieux au caractère cylindrique de la fonction de Green. La Fig. 4 montre le résultat obtenu après convolution. L'inclinaison reste très faible à l'intérieur de l'aquifère (par symétrie, elle doit être nulle au centre), sauf lorsqu'on s'approche de ses bords – il faut être à moins de 5 km d'une bordure pour que l'inclinaison dépasse 1×10−8rad. Le maximum est atteint sur la limite de l'aquifère, où l'on a une valeur de 8×10−8rad. De façon quasi symétrique, l'inclinaison diminue très rapidement lorsqu'on s'éloigne de l'aquifère, pour passer en dessous de 1×10−8rad à 30 km du centre de la nappe. À 50 km, elle ne sera plus que de 2×10−9rad, à la limite de la détection par les inclinomètres.

Il ressort de ce premier cas de figure que les fluctuations naturelles du niveau des nappes, généralement supérieures au mètre et dans des milieux de porosité parfois plus forte que 10%, sont théoriquement observables à l'aide d'inclinomètres. La sensibilité est meilleure dans les zones de fort gradient de la surcharge (plus exactement de ses variations temporelles), ce qui semble naturel et est bien appuyé par la considération que le signal inclinométrique peut s'obtenir directement par convolution d'une fonction de Green appropriée avec, directement, ce gradient de surcharge. Cela doit guider l'implantation des capteurs lors d'études expérimentales du phénomène, et il serait inopportun d'installer un instrument clinométrique au centre d'un aquifère.

Dans le cadre d'une étude autre qu'hydrogéologique – tectonique par exemple –, on pourra prendre soin de ne pas implanter de capteur en limite d'aquifère (et même, si possible, complètement en dehors).

On propose maintenant d'étudier le phénomène sur des nappes dont le niveau varierait de 1 m pour une porosité de 10% de façon monodirectionnelle sinusoïdale dans l'espace, ce qui constitue une modalité de variation qui certes n'est pas réaliste, mais permet d'étudier le phénomène de chargement en fonction du nombre d'onde « topographique » de la nappe. La nappe est limitée par un carré, de 500 km de côté. Les résultats sont donnés sur la Fig. 5, pour des longueurs d'onde allant de 2 m à 500 km. Notons que, pour les longueurs d'ondes les plus petites, la signification des résultats est limitée par la non-prise en compte d'une profondeur de toit d'aquifère qui interviendrait pour un modèle plus réaliste. Le modèle de surcharge utilisé consiste toujours en un effet « plaqué ». Cependant, dès lors que la longueur d'onde mise en jeu est notablement plus grande que la profondeur, les amplitudes observées sont assurément représentatives.

Ce que l'on remarque de façon évidente sur la Fig. 5 est la stabilité du résultat. L'inclinaison a, pour toutes les échelles, une valeur proche de 2,6×10−8rad. Cette invariance est à relier à la propriété d'invariance d'échelle mentionnée plus haut (pour une Terre homogène), mais n'est pas valable dans le détail – le modèle de Terre pris en compte n'étant pas homogène. La valeur atteinte se situe largement dans la gamme de sensibilité des inclinomètres modernes.

Ce résultat illustre combien il est nécessaire de prendre en compte toutes les échelles pour bien modéliser l'inclinaison. La décroissance observée du côté des grandes et petites longueurs d'ondes est le reflet des bornes choisies pour les longueurs d'onde et de l'extension latérale (500 km) mises en œuvre dans cette simulation.

Pour l'étude de l'inclinaison engendrée par les systèmes aquifères du bassin de Paris, nous avons utilisé les sorties du modèle Modcou appliqué au bassin de la Seine [13]. Il fournit, interpolées, les charges hydrauliques des différents aquifères, calées sur des piézomètres choisis, au pas journalier, pendant 20 ans [12]. Le modèle Modcou tient compte du caractère libre ou captif des différents aquifères et prend en compte les transferts d'eau entre eux.

L'intérêt d'utiliser des sorties de modèles hydrogéologiques comme descriptif des variations du niveau des nappes est de disposer de données continues dans le temps, distribuées sur l'ensemble du domaine. Elles sont bien sûr plus réalistes que les modèles simplistes utilisés dans les exemples précédents, même si elles ne font que reproduire de façon approchée les observations réelles.

Le bassin se compose précisément de trois aquifères superposés. Le plus profond se trouve dans des craies du Crétacé supérieur ; c'est aussi le plus étendu, nécessitant un découpage en 14 812 mailles. Les deux autres sont de taille nettement plus petite, ils sont dans des terrains Éocène et Oligocène et il a fallu respectivement 5082 et 2422 mailles pour les décrire. La grille utilisée a une base carrée de 8 km de côté, redivisée en mailles plus petites – 4, 2 ou 1 km – près des rivières (Fig. 6).

La simulation inclinométrique d'un bassin comme celui de la Seine doit permettre d'explorer les deux volets du sujet qui nous intéresse :

• (1) l'hydrologie doit-elle être prise en compte pour la séparation des phénomènes physiques qui contribuent au signal inclinométrique (par exemple, constitue-t-elle un parasite lors d'études néotectoniques) ?
• (2) l'inclinométrie peut-elle constituer un outil pour caractériser un système hydrogéologique ?

Dans l'application que nous faisons du modèle, nous choisissons Paris comme origine géométrique. À partir de ce point, nous traçons une droite dans l'axe normal à la direction moyenne d'écoulement de la Seine. Sur cet axe, nous choisissons 12 points espacés de 10 km. Ils rejoignent les plateaux crayeux situés de part et d'autre du bassin, du nord vers le sud. En chacun de ces points, nous calculons l'inclinaison tous les dix jours, de début août 1990 à fin juillet 1991. Nous projetons ensuite ce tilt dans la direction de l'axe des points, simulant des inclinomètres qui auraient la même direction de sensibilité.

L'inclinométrie n'ayant de sens que par ses variations temporelles, nous avons choisi comme état de référence le niveau piézométrique des nappes à un instant donné, fixé à la fin août 1990. Tous nos calculs d'effet de surcharge hydrologique sont comptés par rapport à cet état de référence. Notre mode de convolution est basé sur le second type de maillage – à symétrie cylindrique autour du point de calcul. Les données piézométriques de Modcou n'offrent pas de résolution spatiale meilleure que celle du kilomètre. Nous n'effectuons pas de découpage en dessous de 500 m, les données kilométriques ne pouvant plus nous renseigner sur les variations à cette échelle (en réalité, il doit en exister, particulièrement à proximité des captages).

On peut, certes, se poser la question, compte tenu de ce qui a été dit sur l'invariance d'échelle, des limites qu'une résolution spatiale limitée implique. Toutefois, le fait que d'éventuels capteurs inclinométriques opéreraient bien au-dessus du toit de la nappe constitue en soi un filtrage passe-bas de la déformation induite. En première approche, la longueur d'onde de coupure du filtre mécanique que constitue le terrain est proche de l'épaisseur des terrains non saturés (en prenant pour négligeables les masses d'eau de la zone non saturée).

Nous prolongeons le maillage jusqu'à 400 km du point de convolution, ce qui permet le calcul jusqu'à l'extérieur de la surface couverte par l'aquifère sans rogner aucune partie des nappes (avec cette distance prise en compte, tout l'aquifère reste pris en compte pour un calcul de l'inclinaison fait à l'extérieur de celui-ci).

Il faut ensuite redistribuer les hauteurs piézométriques en fonction de la grille centrée sur le point de calcul. L'interpolation de ces données pose des problèmes différents pour les mailles proches et pour les mailles lointaines. À proximité, nous effectuons une interpolation linéaire qui doit rendre compte du gradient de surcharge locale, dont nous avons vu l'importance. À grande distance, où nous disposons de plusieurs points de mesure sur une maille, nous nous contentons de moyenner ces données.

La Fig. 7 montre le signal obtenu de part et d'autre de l'axe de la Seine. On peut noter d'emblée que l'inclinaison calculée est comprise entre –10⁻⁸ et 10−8rad. Ceci correspond encore à un ordre de grandeur accessible à la mesure, et est effectivement représentatif des fluctuations observées sur des inclinomètres [6]. Nous voyons que, globalement, le signal s'amplifie au cours de l'année. Au bout de 12 mois, il n'y a pas, comme on aurait pu s'y attendre, retour à une situation proche de celle de départ, mais cela reflète bien la variabilité interannuelle des stocks d'eau.

Au voisinage de x=25km, le profil calculé présente un fort pic. Ce point correspond à peu près sur la carte à une limite de plateau. Nous sommes ici en présence d'une discontinuité hydrogéologique, avec le passage d'une zone de plaine aux faibles variations piézométriques, à une zone de plateau aux variations plus fortes. L'inclinaison a bien lieu dans le sens prévu, c'est-à-dire vers le nord, où se situe le plateau.

Regardons à présent le signal inclinométrique temporel projeté selon l'axe (moyen) du fleuve, à Paris. La Fig. 8 trace les variations au cours de l'année étudiée en un point fixe pris au centre de la capitale. Une inclinaison positive correspond au cas où la zone aval du fleuve se soulèverait. Nous voyons nettement se dessiner un pic négatif pour l'inclinaison au plus fort de l'année hydrologique (février), où le domaine aval est plus fortement chargé. Sur ce cycle annuel, la variation crête à crête de l'inclinaison atteint 2,5×10−9rad.

Avec cette modélisation de l'effet hydrologique, nous avons voulu nous rapprocher de conditions réelles en regardant les effets calculés à partir de données issues du modèle Modcou. Pour compléter ces premiers résultats, il serait utile d'approfondir la connaissance des approximations internes de ce modèle (élaboré par Éric Gomez [12]) ; mais, considérant qu'il assimile des données réelles, les ordres de grandeur obtenus sont vraisemblablement corrects. On peut toutefois se poser la question de savoir ce que l'erreur du modèle hydrogéologique engendrerait comme variation indéterminable de l'inclinaison, compte tenu de l'invariance d'échelle qui donne un poids équivalent aux hauteurs d'eau voisines du point d'observation et à celles qui sont plus lointaines, dont on peut espérer que l'intégrale soit plus représentative de la réalité.