On the normal form of a system of differential equations with nilpotent linear part

Mireille Canalis-Durand; Reinhard Schäfke

doi:10.1016/S1631-073X(02)00022-5

Ordinary Differential Equations

On the normal form of a system of differential equations with nilpotent linear part
[Forme normale d'un système d'équations différentielles à partie linéaire nilpotente]

Présenté par : Bernard Malgrange

Mireille Canalis-Durand ¹ ; Reinhard Schäfke ²

¹ GREQAM, Université d'Aix-Marseille III, 13002 Marseille, France
² IRMA, Université Louis Pasteur, 67084 Strasbourg cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 2, pp. 129-134.

Résumé
Abstract

On considère des formes prénormales associées à des perturbations génériques du système $\dot{x} = 2 y, \dot{y} = 3 x^{2}$ . Il est connu qu'elles admettent une forme normale formelle $\dot{x} = 2 y + 2 x Δ^{*}, \dot{y} = 3 x^{2} + 3 y Δ^{*}$ , où $Δ^{*} = x + A_{0} (y^{2} - x^{3})$ [Differential Equations 158 (1) (1999) 152–173]. Nous démontrons que A₀ et les transformations normalisantes sont divergentes, mais 1-sommable.

We consider prenormal forms associated to generic perturbations of the system $\dot{x} = 2 y, \dot{y} = 3 x^{2}$ . It is known that they have a formal normal form $\dot{x} = 2 y + 2 x Δ^{*}, \dot{y} = 3 x^{2} + 3 y Δ^{*}$ , where $Δ^{*} = x + A_{0} (y^{2} - x^{3})$ [Differential Equations 158 (1) (1999) 152–173]. We show that the series A₀ and the normalizing transformations are divergent, but 1-summable.

Reçu le : 2002-11-23
Accepté le : 2002-11-27
Publié le : 2003-01-15

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)00022-5

Affiliations des auteurs :

Mireille Canalis-Durand ¹ ; Reinhard Schäfke ²

¹ GREQAM, Université d'Aix-Marseille III, 13002 Marseille, France
² IRMA, Université Louis Pasteur, 67084 Strasbourg cedex, France

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Mireille Canalis-Durand; Reinhard Schäfke. On the normal form of a system of differential equations with nilpotent linear part. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 2, pp. 129-134. doi : 10.1016/S1631-073X(02)00022-5. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)00022-5/

Bibliographie
Cité par

[1] Handbook of Mathematical Functions (M. Abramowitz; I.A. Stegun, eds.), Dover, New York, 1964

[2] M. Canalis-Durand; F. Michel; M. Teisseyre Algorithms for formal reduction of vector fields singularities, J. Dynamical Control Systems, Volume 7 (2001) no. 1, pp. 101-125

[3] D. Cerveau; R. Moussu Groupes d'automorphismes de $(ℂ, 0)$ et équations différentielles $y d y + \dots = 0$ , Publ. Soc. Math. France, Volume 116 (1988), pp. 459-488

[4] J. Ecalle Les fonctions résurgentes. III : L'équation du pont et la classification analytique des objets locaux, Publ. Math. Orsay 85-05, 1985

[5] F. Loray Réduction formelle des singularités cuspidales de champs de vecteurs analytiques, Differential Equations, Volume 158 (1999) no. 1, pp. 152-173

[6] F.W.J. Olver Asymptotics and Special Functions, Academic Press, New York, 1974

[7] J.-P. Ramis Les séries k-sommables et leurs applications, Complex Analysis, Microlocal Calcul and Relativistic Quantum Theory, Lecture Notes in Phys., 126, 1980, pp. 178-199

Cité par Sources :

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