Comptes Rendus
no. 4
La loi du plus petit disque contenant la cellule typique de Poisson–Voronoi
Pierre Calka1
1 Université Claude Bernard, Lyon 1, LaPCS, Bât. B, Domaine de Gerland, 50, avenue Tony-Garnier, 69366 Lyon cedex 07, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 4, pp. 325-330.

Soit Rm (respectivement RM) le rayon du plus grand (respectivement plus petit) disque centré à l'origine et inclus dans (respectivement contenant) la cellule typique de la mosaı̈que de Poisson–Voronoi deux-dimensionnelle. Dans ce travail, nous obtenons la loi conjointe de Rm et RM. Pour cela nous faisons appel à des techniques classiques de recouvrement du cercle dûes à Stevens, Siegel et Holst ainsi qu'à une conjecture de Siegel que nous démontrons. Le calcul des probabilités conditionnelles P{R M ⩾r+s∣R m =r} permet de préciser le caractère circulaire des cellules typiques de Poisson–Voronoi admettant un « grand » disque inscrit.

Denote by Rm (respectively RM) the radius of the largest (respectively smallest) disk centered at the origin and included in (respectively containing) the typical cell of the two-dimensional Poisson–Voronoi tessellation. In this article, we obtain the joint distribution of Rm and RM. This result is derived from the covering properties of the circle due to Stevens, Siegel and Holst. The computation of the conditional probabilities P{R M ⩾r+s∣R m =r} reveals the circular property of the Poisson–Voronoi typical cells having a “large” in-disk.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02261-6
Pierre Calka 1

1 Université Claude Bernard, Lyon 1, LaPCS, Bât. B, Domaine de Gerland, 50, avenue Tony-Garnier, 69366 Lyon cedex 07, France 
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Pierre Calka. La loi du plus petit disque contenant la cellule typique de Poisson–Voronoi. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 4, pp. 325-330. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02261-6. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02261-6/

[1] Fr. Baccelli, B. Blaszczyszyn, On a coverage process ranging from the Boolean model to the Poisson–Voronoi tessellation with applications to wireless communications, Rapport de recherche INRIA No 4019, October, 2000

[2] S.G. Foss; S.A. Zuyev On a Voronoi aggregative process related to a bivariate Poisson rocess, Adv. Appl. Probab., Volume 28 (1996) no. 4, pp. 965-981

[3] E.N. Gilbert Random subdivisions of space into crystals, Ann. Math. Statist., Volume 33 (1962), pp. 958-972

[4] A. Goldman; P. Calka On the spectral function of the Poisson–Voronoi cells, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 332 (2001) no. 9, pp. 835-840

[5] A. Goldman Le spectre de certaines mosaı̈ques poissoniennes du plan et l'enveloppe convexe du pont brownien, Probab. Theory Related Fields, Volume 105 (1996) no. 1, pp. 57-83

[6] F.W. Huffer; L.A. Shepp On the probability of covering the circle by random arcs, J. Appl. Probab., Volume 24 (1987) no. 2, pp. 422-429

[7] S. Kumar; R.N. Singh Thermal conductivity of polycristalline materials, J. Amer. Cer. Soc., Volume 78 (1995) no. 3, pp. 728-736

[8] J. Møller Lectures on Random Voronoi Tessellations, Springer-Verlag, New York, 1994

[9] A. Okabe; B. Boots; K. Sugihara Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams, Wiley, Chichester, 1992 (With a foreword by D.G. Kendall)

[10] E. Pielou Mathematical Ecology, Wiley-Interscience, New York, 1977

[11] L.A. Shepp Covering the circle with random arcs, Israel J. Math., Volume 11 (1972), pp. 328-345

[12] A.F. Siegel Random space filling and moments of coverage in geometrical probability, J. Appl. Probab., Volume 15 (1978) no. 2, pp. 340-355

[13] A.F. Siegel; L. Holst Covering the circle with random arcs of random sizes, J. Appl. Probab., Volume 19 (1982) no. 2, pp. 373-381

[14] R.van de Weygaert Fragmenting the Universe III. The construction and statistics of 3-D Voronoi tessellations, Astronom. Astrophys., Volume 283 (1994), pp. 361-406

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