Comptes Rendus
no. 5
On the maximum principle for second-order elliptic operators in unbounded domains
[Un principe du maximum pour opérateurs elliptiques du second ordre dans des domaines non bornés]
Vittorio Cafagna1 ; Antonio Vitolo1
1 Dipartimento di Matematica e Informatica, Facoltà di Scienze, Università di Salerno, via Salvador Allende, 84081 Baronissi (SA), Italy
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 5, pp. 359-363.

On considère le principe du maximum pour des opérateurs elliptiques du sécond ordre du type Lu=aij(x)uxixj+c(x)u dans des domaines non bornés de R n . En utilisant une condition géométrique, déjà considérée par Berestycki, Nirenberg et Varadhan dans [2] et une inégalité de Harnack faible due à Trudinger, Cabré [3] est arrivé à démontrer l'estimation ABP (Alexandroff–Bakelman–Pucci) pour une large classe de domaines non bornés, en obténant le principe du maximum pour des opérateurs elliptiques généraux. Dans cette Note nous introduisons une forme faible de cette condition géométrique et nous démontrons que cela suffit à obtenir le principe du maximum pour une classe plus large de domaines.

We are concerned with the maximum principle for second-order elliptic operators of the kind Lu=aij(x)uxixj+c(x)u in unbounded domains of R n . Using a geometric condition, already considered by Berestycki, Nirenberg and Varadhan in [2] and a weak boundary Harnack inequality due to Trudinger, Cabré [3] was able to prove the ABP (Alexandroff–Bakelman–Pucci) estimate for a large class of unbounded domains, obtaining as a consequence the maximum principle for general elliptic operators. In this Note we introduce a weak form of the above geometric condition and we show that in the case c⩽0 this is enough to obtain the maximum principle for a larger class of domains.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02267-7
Vittorio Cafagna 1 ; Antonio Vitolo 1

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Vittorio Cafagna; Antonio Vitolo. On the maximum principle for second-order elliptic operators in unbounded domains. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 5, pp. 359-363. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02267-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02267-7/

[1] H. Berestycki; L.A. Caffarelli; L. Nirenberg Monotonicity for elliptic equations in unbounded Lipschitz domains, Comm. Pure Appl. Math., Volume 50 (1997), pp. 1089-1111

[2] H. Berestycki; L. Nirenberg; S.R.S. Varadhan The principal eigenvalue and maximum principle for second-order elliptic operators in general domains, Comm. Pure Appl. Math., Volume 47 (1994), pp. 47-92

[3] X. Cabré On the Alexandroff–Bakelman–Pucci estimate and the reverse Hölder inequality for solutions of elliptic and parabolic equations, Comm. Pure Appl. Math., Volume 48 (1995), pp. 539-570

[4] D. Gilbarg; N.S. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983

[5] W.K. Hayman; P.B. Kennedy, Subharmonic Functions, 1, Academic Press, 1976

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