Comptes Rendus
no. 10
An interior–exterior Schwarz algorithm and its convergence
[Un algorithme de Schwarz intérieur–extérieur et sa convergence]
Ricardo Celorrio1 ; Vı́ctor Domínguez2 ; Francisco-Javier Sayas3
1 Dep. Matemática Aplicada, EUITI, Universidad de Zaragoza, 50015 Zaragoza, Spain
2 Dep. Matemática e Informática, Univ. Pública de Navarra, Campus de Arrosadı́a, 31006 Pamplona, Spain
3 Dep. Matemática Aplicada, C.P.S., Universidad de Zaragoza, 50015 Zaragoza, Spain
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 10, pp. 923-926.

Dans ce travail on étudie la résolution de l'équation de Laplace sur un domaine avec des trous par une méthode itérative consistente à diviser le problème en un problème extérieur, autour des trous, plus un problème intérieur dans le domaine complet. On montre l'existence d'une décomposition de la solution lorsque le problème extérieur est représenté par une potentiel de couche simple. En plus, pour le cas tridimensionnel et pour le bidimensionnel avec quelques modifications, on montre la convergence de la méthode en l'écrivant comme une itération de Jacobi pour une équation opérationnelle et en étudiant le spectre de l'opérateur d'itération.

In this work we study the solution of Laplace's equation in a domain with holes by an iteration consisting of splitting the problem in an exterior one, around the holes, plus an interior problem in the unholed domain. We show the existence of a decomposition of the solution when the exterior problem is represented by means of a single-layer protential. Also, for the three-dimensional case and with some adjustments for the two-dimensional case, we prove convergence of the method by writing the iteration as a Jacobi iteration for an operator equation and studying the spectrum of the iteration operator.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02362-2
Ricardo Celorrio 1 ; Vı́ctor Domínguez 2 ; Francisco-Javier Sayas 3

1 Dep. Matemática Aplicada, EUITI, Universidad de Zaragoza, 50015 Zaragoza, Spain
2 Dep. Matemática e Informática, Univ. Pública de Navarra, Campus de Arrosadı́a, 31006 Pamplona, Spain
3 Dep. Matemática Aplicada, C.P.S., Universidad de Zaragoza, 50015 Zaragoza, Spain 
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Ricardo Celorrio; Vı́ctor Domínguez; Francisco-Javier Sayas. An interior–exterior Schwarz algorithm and its convergence. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 10, pp. 923-926. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02362-2. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02362-2/

[1] W. McLean Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2000

[2] A. Quarteroni; A. Valli Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Oxford Science Publications, 1999

[3] I.H. Sloan; A. Spence The Galerkin method for integral equations of the first kind with logarithmic kernel: theory, IMA J. Numer. Anal., Volume 8 (1988), pp. 105-122

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