In a previous Note [1], we suggested a quantum model of the unit interval [0,1], using convergent power series, parametrized by a variable q (a remarkable example is the quantum exponential, defined by Euler). In the present Note, we suggest a simpler model based on functions (with an arbitrary commutative ring k) which are constant when x↦+∞ or x↦−∞ and their “differentials” considered as functions x↦f(x+1)−f(x) (difference calculus). Thanks to this new “differential calculus over the integers”, we can associate to any simplicial set or topological space X a braided differential graded algebra which is similar in spirit to the algebra introduced in [1]. We notice that the p-homotopy type of X can be read from the braiding of . In particular, if , we recover in a purely algebraic way the integral cohomology, Steenrod operations, homotopy groups from this braiding.
Dans une Note précédente [1], nous avons proposé un modèle quantique de l'intervalle [0,1], à partir de séries convergentes dépendant d'un paramètre q (un exemple notable étant l'exponentielle quantique, dûe à Euler). Dans cette Note, nous suggérons un modèle plus simple construit à partir de fonctions (k étant un anneau commutatif quelconque) constantes quand x↦+∞ ou x↦−∞ et leurs « différentielles » df que nous interpretons comme les fonctions x↦f(x+1)−f(x) (calcul aux différences). Grâce à ce nouveau « calcul différentiel sur les nombres entiers », nous pouvons associer à un ensemble simplicial ou espace topologique quelconque X une algèbre différentielle graduée tressée , analogue en esprit à l'algèbre considérée dans [1]. Il convient de remarquer que le p-type d'homotopie de l'ensemble simplicial X « se lit » essentiellement sur le tressage de l'algèbre . En particulier, si , nous retrouvons de manière purement algébrique la cohomologie entière, les opérations de Steenrod, les groupes d'homotopie à partir de ce tressage.
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Max Karoubi 1
@article{CRMATH_2002__335_2_121_0, author = {Max Karoubi}, title = {Algebraic braided model of the affine line and difference calculus on a topological space}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {121--126}, publisher = {Elsevier}, volume = {335}, number = {2}, year = {2002}, doi = {10.1016/S1631-073X(02)02387-7}, language = {en}, }
Max Karoubi. Algebraic braided model of the affine line and difference calculus on a topological space. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 2, pp. 121-126. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02387-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02387-7/
[1] Braiding of differential forms and homotopy types, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 331 (2000), pp. 757-762
[2] Quantum methods in algebraic topology, Contemp. Math., 279, American Mathematical Society, 2001, pp. 177-193
[3] E∞-algebras and p-adic homotopy theory, Topology, Volume 40 (2001), pp. 43-94
[4] M.-A. Mandell, Cochain multiplications, Prepublication
[5] Hodge decomposition for higher order Hochschild homology, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 33 (2000), pp. 151-179
Cited by Sources:
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